Nous énonçons et prouvons de nouvelles inégalités généralisées de type Lyapunov et de type Hartman pour un problème de valeur limite conforme d'ordre $ \alpha \in (1,2] $ avec des non-linéarités mixtes de la forme $ $ \bigl(\ mathbf{T}_{\ alpha} ^{a} x\bigr) (t)+r_{1}(t) \bigl\ vert x(t)\ bigr\ vert ^{\eta -1}x(t)+r_{2}(t)\bigl\vert x(t) \bigr\vert ^{ \delta -1}x(t)=g(t), \quad t\in (a,b), $$ satisfaisant les conditions limites de Dirichlet $x(a)=x(b)=0 $ , où $r_{1}$ , $r_{2}$ et g sont des fonctions intégrables à valeur réelle, et les non-linéarités satisfont les conditions $ 0<\eta <1<\delta <2 $ . De plus, les inégalités de type Lyapunov et de type Hartman sont obtenues lorsque la dérivée conformable $ \mathbf{T}_{\alpha} ^{a}$ est remplacée par une dérivée conformable séquentielle $ \mathbf{T}_{\alpha} ^{a} \circ \mathbf{T}_{\alpha }^{a}$ , $ \alpha \in (1/2,1]$ . Les fonctions potentielles $r_{1}$ , $r_{2}$ ainsi que le terme de forçage g ne nécessitent aucune restriction de signe. Les inégalités obtenues généralisent certains résultats existants dans la littérature.

Declaramos y probamos nuevas desigualdades generalizadas de tipo Lyapunov y de tipo Hartman para un problema de valor límite conformable de orden $\alpha \in (1,2]$ con no linealidades mixtas de la forma $$ \bigl(\mathbf{T}_{\alpha} ^{a} x\bigr) (t)+r_{1}(t) \bigl\vert x(t) \bigr\vert ^{\eta -1}x(t)+r_{2}(t)\bigl\vert x(t) \bigr\vert ^{ \delta -1}x(t)=g(t), \quad t\in (a,b), $$ satisfaciendo las condiciones límite de Dirichlet $x(a)=x(b)=0 $ , donde $r_{1}$ , $r_{2}$ y g son funciones integrables de valor real, y las no linealidades satisfacen las condiciones $ 0<\eta <1<\delta <2 $ . Además, las desigualdades de tipo Lyapunov y de tipo Hartman se obtienen cuando la derivada conformable $\mathbf{T}_{\alpha} ^{a}$ se reemplaza por una derivada conformable secuencial $\mathbf{T}_{\alpha }^{a} \circ \mathbf{T}_{\alpha }^{a}$ , $\alpha \in (1/2,1]$ . Las funciones potenciales $r_{1}$ , $r_{2}$, así como el término forzado g, no requieren restricciones de signo. Las desigualdades obtenidas generalizan algunos resultados existentes en la literatura.

We state and prove new generalized Lyapunov-type and Hartman-type inequalities for a conformable boundary value problem of order $\alpha \in (1,2]$ with mixed non-linearities of the form $$ \bigl(\mathbf{T}_{\alpha }^{a} x\bigr) (t)+r_{1}(t) \bigl\vert x(t) \bigr\vert ^{\eta -1}x(t)+r_{2}(t)\bigl\vert x(t) \bigr\vert ^{ \delta -1}x(t)=g(t), \quad t\in (a,b), $$ satisfying the Dirichlet boundary conditions $x(a)=x(b)=0$ , where $r_{1}$ , $r_{2}$ , and g are real-valued integrable functions, and the non-linearities satisfy the conditions $0<\eta <1<\delta <2$ . Moreover, Lyapunov-type and Hartman-type inequalities are obtained when the conformable derivative $\mathbf{T}_{\alpha }^{a}$ is replaced by a sequential conformable derivative $\mathbf{T}_{\alpha }^{a} \circ \mathbf{T}_{\alpha }^{a}$ , $\alpha \in (1/2,1]$ . The potential functions $r_{1}$ , $r_{2}$ as well as the forcing term g require no sign restrictions. The obtained inequalities generalize some existing results in the literature.

نصرح ونثبت تفاوتات جديدة معممة من نوع Lyapunov ونوع Hartman لمشكلة قيمة حدودية متوافقة من أجل $\alpha \in (1,2 ]$ مع عدم خطية مختلطة من النموذج $$\ bigl(\ mathbf{T} _{\ alpha }^{ a} x\ bigr) (t)+r _{ 1 }( t)\ bigl\ vert x(t)\ bigr\ vert ^{\ eta -1}x(t )+r _{ 2 }( t)\ bigl\ vert x (t)\ bigr\vert x(t)\ bigr\vert ^{\delta -1}x(t )=g(t), \quad t\in (a,b), $$ الوفاء بشروط حدود Dirichlet $x(a )=x(b )=0 $ , where $r _{ 1}, $r _{ 2}, and real - valueble functions, and the nonlinities the nonear t\ in (a, b)\ dela <1 $< 2. علاوة على ذلك، يتم الحصول على متباينات من نوع ليابونوف ونوع هارتمان عند استبدال المشتق المتوافق $\mathbf{T} _{\ alpha }^{ a }$ بمشتق متسلسل متوافق $\mathbf{T} _{\ alpha }^{ a}\ circ \mathbf{T} _{\ alpha }^{ a }$, $\alpha \in (1/2,1 ]$ . لا تتطلب الوظائف المحتملة $r _{ 1 }$ و $r _{ 2 }$ بالإضافة إلى مصطلح الإجبار g أي قيود على اللافتات. تعمم أوجه عدم المساواة التي تم الحصول عليها بعض النتائج الحالية في الأدبيات.