ÖZET I 1984 yılında Clunie ve Sheil-Small [2], U = {z/ /z/ < 1} birim dairesin de harmonik ve yalınkat olan fonksiyonların tanımını verdiler. Harmonik yalınkat bir f(z) fonksiyonu, h(z) ve g(z) birim dairede analitik fonksi yonlar olmak üzere f(z) - h(z) + ğ(z) şeklinde yazılabilir. h(0) = 0 ve h'(Q) = 1 ile normalize edilen fonksiyonların sınıfı SB ile, Sa sımfmda ayrıca g'(0) = 0 ile normalize edilen fonksiyonların sınıfı da 5° ile göste rilmektedir. Bu sınıfların bazı özellikleri, Clunie ve Sheil-Small tarafından ispat edildi. 1990 yılında Avcı ve Zlotkiewicz [1], /(z) = z+Y^,^ o,nz +Y1T a-n^ açılımına sahip ve oo 5>(l«J + l«-l)<ı-l«-xl (Ktl<i) 2 eşitsizliğini sağlayan harmonik fonksiyonların sınıfı HS ve oo £n2(a.+ a_B)<l-0 (l«-tl<l) 2 eşitsizliğini sağlayan harmonik fonksiyonların sınıfı HC 'yi tanımladılar. HS sınıfının fonksiyonlarının yalınkat, HC° sımfının fonksiyonlanmn kon veks fonksiyon olduklarını ve bu sınıfların bazı özeliklerini ispat ettiler. Bu çalışmada ilk olarak oo oo /(z) = * + X>n*n + £a-»:rı (a_x<ı, *<i) 2 1 harmonik fonksiyonlanmn oo £»*(l«J + k..l)<ı-k-ıl (&eZ+) meşitsizliğini sağlayan Hk sınıflan ve bunların a_t = O ile normalize edilen JET? sınıflan tanımlandı. Bu sınıflar, Avcı ve Zlotkiewicz tarafından tanım- lanan HS ve HC sınıflarının bir genellemesidir. Hk sınıflarının sağladığı aşağıdaki özellikleri elde edildi: 1) Her keZ+ için Hk+l C Hk dir. 2) Her k G Z+ için Hk C SH dır. 3) Her k > 1 için H° C KH dır. 4) / G Hk ise, (1 - a_J)(,- ]£) < /(*)l/(*)l<(l + a_J)M + ı-Ktl, l2 eşitsizlikleri doğrudur. 5)feHk ise, 5 = *=İ(1 - a_x ) için JV«(/) C #x dir. 6) H° konveks bir ailedir. 7) / G Hk ise, 0 < r < 1 için %& G Ffc dır. T 8) 5`fc sınıfındaki her fonksiyon, /z/ < r < diskinde Hk+1 sınıfına aittir. 9) / G Hk ise /`(*) = /(f °-^(z) G İTfe° dir. 1 - la-ıl 10) f{z) = z + Y^anzn + Y,Ta-nZn ? H°k olsun. Bu taktirde /f(z)/ fonksiyonu /z/ = r nin artan fonksiyondur. 11) {/»(*)}r = (M-0 +?»(*)} C #2 _dizisi,y(z) = h(z) + ğ(z) har- monik fonksiyonuna kompakt kümeler üzerinde düzgün olarak yakınsarsa, {hn(z)} ve {gn(z)} dizileri de sırasıyla, h(z) ve g{z) fonksiyonlarına düzgün olarak yakınsar. ivDaha sonra Hadamard çarpımının, harmonik fonksiyon sınıflan üze rindeki bazı uygulamaları incelendi ve aşağıdaki sonuçlar elde edildi: 1) Bir f(z) = z + £~anzn + Z?`-nZn, (a_ı< 1, z ? ü) harmonik fonksiyonun yerel yalınkat olması için gerek ve yeter koşul, kiz) = (rh?+£~(dhy' e-1, lz{<1 olmak üzere (/ * *)(*) ± 0 (0 < /z/ < 1) olmasıdır. 2) / = h + ğ E Hlu fonksiyonu verildiğinde k°(z)==(i-xz)(i-yz) W*Mvl<ı,**y ve e< 1 için ke = ko + eko olmak üzere (/ * ke)(z) #0 0 < /z/ < 1 ise, / ? Sh dır. 3) f(z) = h(z)+ğ(z) ? CH, /g'(0)/ < /h'(Q)/ ve e= 1 olmak üzere her e için h + eg G C olsun. Bir ıp(z) analitik ve konveks fonksiyonunu alalım. /a/ = 1 olmak üzere her a için, (<p + câp)(z) * f(z) fonksiyonu f(z) ile aym koşullan sağlayan, konvekse yakın bir fonksiyon dur. 4) f(z) = h(z)+ğ(z) fonksiyonu, e< 1 olmak üzere bazı s kompleks sayılan için, h+eg ? K özelliğine sahip olan Ch sınıfından bir fonksiyon ve ip ? K olsun. Bu taktirde. (2Retp * f)(z) fonksiyonu, f(z) ile aym özellikleri sağlayan konvekse yakın bir fonksiyon dur.

SUMMARY In 1984, Clunie and Sheil-Small [2] gave the definition of harmonic univalent functions in U = {z/ /z/ < 1}. Such mappings /(z) can be written in the form f(z) = h(z) + g(z) where h(z) and g(z) analytic functions in U. The class of harmonic univalent functions and normalised by h(0) = 0 ve h'(0) = 1 is denoted by SB. The subclass of SB with g'(0) = 0 is denoted by SB. Clunie and Sheil-Small proved some properties which belong to these classes. In 1990, Avci ve Zlotkiewicz [1] denned two special subclasses of har monic mappings. One of them is denoted by HS, the class of functions f(z) = z + Y^3 anz + YİT a-n* ^a* satisfy 5>(I«J + K.l)<l-Kll (l«-tl<l)» 2 the other class which contains all functions f(z) = z + ^2* a`z + ]Ci° a-n* ^a^ satisfy oo £»a(k! + IO)<i-l«-xl (Ktl<i) is denoted by HC. They proved the functions of HS are univalent, the functions of HC° are convex functions and some properties of these classes. In this study, we firstly defined the classes of harmonic univalent func tions f(z) = z + Ş2T aiz + 5^i° a-nz *^a* satisfy £ nkUa« I + 1«- 1) ^ i - l«-i I. (l«-i I < i, fc ? z+, z< i). VIThese classes are denoted by Hk. Hk denote the subclasses with a_1 = 0. The following properties of these are obtained: 1) Hk+l C Hk for all k 6 Z+ 2) Hh C SH for all k e Z+ 3) H°k C if# for all Jfe > 1 4) J£f eHh, then (1 -a_J)(z-İİ) < 1/(^)1. inequalities are satisfied. 5) If / e İ2`fc, then Ns(f) C #x for 6 = 4=1(1 - o_1 1). 6) J7° is a convex family. 7)j£feHkiQTleHh (0<r<l). T 8) Let / 6 Hk. In the disk z< r < , / ? fi`4+1. P/ei, then /`(*) = /(*}r°-ffz) e #fc°. 10) Let /(z) = z + Z?*nZn + ErVnZ* e #fc°. Then /(z)is increasing function with respect to /z/ = r. 11) If a sequence {/«(z)}?0 = {hn(z) + ğn(z)} C -Hjj uniformly con verges on compact sets to a harmonic function f(z) = h(z) + lğ(z), then the sequences {hn(z)} and {gn(z)} uniformly converge on compact sets to the functions h(z) and g(z) respectively. Next, some applications of Hadamard product on harmonic functions are investigated and some results are obtained: vii` 1) A function f(z) = z + Y£ a**` + Y.T *-«*? » (i«-i [ < 1, ?.? *7) is locally univalent if and only if (/**)(z)^0 (0<*<1) where k(z) = jj^ + e^r, e< 1, /z/ < 1. 2) Let / = h+'ğ'be locally univalent. If (/**.)(*) #0 o<z<i> where fce = k<j + eko for e< 1 and koiz)=(l-xz)(l-yz) M*1' lvl<l,*#y then / G SH. 3) E V(z) ? İT and f(z) = fc(z) +?(*) ? CH with 5'(0)< A'(0), h + eg G C for all e (e= 1), then the function (*> + a?0(z)*/(z), V<* (H = l) is close-to-convex function that satisfies properties of f(z). 4) Let f(z) = &(z) + g~(z) G Cff such that h + eg G K for some £ (e< 1) and ip G K. Then the function (2ile^*/)(z) is close-to-convex function that satisfies property of /(z). vui

24