Esta tese foca-se em aspectos de medida e integração em R^n no contexto da topologia sem pontos. A ideia subjacente a esta abordagem é pensar em σ-locales como espaços mensuráveis generalizados e substituir as medidas habituais por medidas (σ-valuações contínuas) no reticulado formado por todos os σ-sublocales. Estendendo a teoria das funções com valores nos reais estendidos de locales para σ-locales, nós estudamos funções mensuráveis (com valores na reta real estendida) em σ-locales. Os novos objectos de estudo são os morfismos L(eR)→C(L) do locale usual dos reais estendidos para o reticulado das congruências de um σ-locale L e a sua subclasse de funções mensuráveis L(eR)→L. Embora, geralmente, nem cada elemento de um σ-locale seja pseudocomplementado, nem um σ-locale seja um reticulado completo, o método familiar para gerar funções com valores reais através de escalas pode ser generalizado para σ-locales através dos novos conceitos de σ-escalas e de σ-escalas finitas. Fórmulas explícitas para as operações algébricas entre funções mensuráveis também são disponibilizadas. Em particular, damos ênfase ao subanel das funções simples mensuráveis e investigamos se é possível escrever uma função não negativa como um limite de funções simples. Em seguida, uma teoria de integração no âmbito da topologia sem pontos é proposta, usando funções simples para estabelecer uma versão "sem pontos" do integral de Lebesgue. O integral é descrito relativamente a uma medida definida no reticulado formado por todos os σ-sublocales. Isto torna possível definir a noção de função integrável (que é tradicionalmente reservada a funções mensuráveis) para funções arbitrárias num σ-locale L e calcular o integral sobre qualquer σ-sublocale de L. Notavelmente, o novo integral sem pontos é uma extensão do integral de Lebesgue clássico, e nós podemos reformular algumas propriedades bem conhecidas deste último num contexto mais geral que vai além das restrições impostas pelas álgebras de Boole. Por exemplo, nós mostramos que apesar do reticulado formado pelos σ-sublocales não ser inerentemente uma álgebra booleana, o integral indefinido de qualquer função não negativa num σ-locale L é uma medida no reticulado dos σ-sublocales. Para além disso, o integral sem pontos também interage bem com limites, permitindo-nos obter contrapartes locálicas do Teorema da Convergência Monótona e do Lema de Fatou.

This thesis focuses on aspects of measure and integration on R^n in the context of point-free topology. The underlying idea is to think of σ-locales as generalised measurable spaces and to replace the standard measures with measures (σ-continuous valuations) on the coframe of all σ-sublocales. Extending the theory of extended real-valued functions from frames to σ-frames, we study measurable (extended real) functions on σ-frames. The new objects of study are the σ-frame homomorphisms L(eR)→C(L) from the usual frame of extended reals into the congruence lattice of a σ-frame L and its subclass of measurable functions L(eR)→L. Even though σ-frames are generally neither pseudocomplemented nor complete lattices, the familiar method for generating real-valued functions on frames via scales can be extended to σ-frames by the new notions of σ-scale and finite σ-scale. Explicit formulas for the algebraic operations performed on measurable functions are also provided. We give particular emphasis to the subring of measurable simple functions and investigate whether we may write a nonnegative function on L as a limit of simple functions. Then, a theory of integration in the point-free framework is proposed, using simple functions to establish a point-free version of the Lebesgue integral. The integral is described with respect to a measure defined on the coframe of all σ-sublocales. This makes it possible to define the notion of integrable function (traditionally reserved for measurable functions) for arbitrary functions on a σ-locale L and to compute the integral over any σ-sublocale of L. Notably, the new point-free integral extends the classic Lebesgue integral, and we may reformulate some of the well-known properties of the latter in a more general setting that moves beyond the constraints of Boolean algebras. For instance, it is shown that although a coframe is not inherently complemented, the indefinite integral of any nonnegative function on a σ-locale L is a measure on the coframe of all σ-sublocales. Moreover, the point-free integral also interacts nicely with limits, allowing us to obtain point-free counterparts for the Monotone Convergence Theorem and Fatou's Lemma.

Universidade de Coimbra - Bolsa de investigação, no âmbito do Projecto Centro de Matemática da Universidade de Coimbra (CMUC), com referência UIDP/00324/2020

Tese de Programa Inter-Universitário de Doutoramento em Matemática apresentada à Faculdade de Ciências e Tecnologia

FCT