En la mayor parte de las aplicaciones de la Teoría de Sistemas Dinámicos (espacios de funciones, ecuaciones diferenciales, etc.) el espacio fase lleva aparejada, además de la estructura topológica, una estructura lineal compatible con esta topología. Esta no ha sido, sin embargo, utilizada nunca en la teoría clásica, que se limita a las propiedades topológicas del espacio fase. El desinterés de los autores hacia esta segunda estructura está justificado por la poca relación existente entre ella y la forma de las trayectorias del sistema. Así, en la aplicación a ecuaciones diferenciales autónomas, dados dos puntos x e y del espacio fase hay una muy dudosa relación entre las soluciones que pasan por x e y y las soluciones que pasan por x+y. igual sucede para trayectorias generales de sistemas dinámicos debido a la no linealidad de la aplicación que define el flujo. La situación pueden sin embargo, cambiar sustancialmente si se construye a partir de la estructura lineal del espacio fase otra estructura lineal sobre el espacio de evolución que linealice la aplicación . La definición de una suma y un producto externo en el espacio de evolución que haga lineal la aplicación puede hacerse sin dificultad, construyéndose así un espacio vectorial sobre el espacio de evolución que hemos representado en el Capítulo I por X R. (En todo nuestro trabajo el grupo topológico T es R, aunque igualmente podría tomarse C). De todas las posibles topologías de que puede ser dotado el espacio de evolución, ocupará un papel relevante en esta trabajo la topología menos fina que hace continua la aplicación (topología incial de ). Que esta topología es compatible con la estructura lineal y que puede ser definida por seminormas cuando lo es la del espacio |