La categor´ıa homot´opica de complejos de cadena no es el contexto adecuado para desarrollar el ´algebra homol´ogica de una categor´ıa abeliana; en esta categor´ıa, nos encontramos con situaciones indeseables, como complejos ac´ıclicos que no son contr´actiles. En contraposici´on, dos complejos cuasi-isomorfos son isomorfos en la categor´ıa derivada, de manera que en esta nueva categor´ıa queda codificada toda la informaci´on homol´ogica de la categor´ıa abeliana base. En el breve art´ıculo [16], se da una motivaci´on de la categor´ıa derivada desde el punto de vista de la geometr´ıa y la topolog´ıa algebraica. El primer objetivo de este trabajo es el estudio de la categor´ıa derivada y, m´as generalmente, la localizaci´on de categor´ıas trianguladas mediante el cociente de Verdier. Para acompa˜nar el desarrollo te´orico, se han introducido algunos c´alculos expl´ıcitos de categor´ıas derivadas concretas. Se concluye el primer cap´ıtulo con una presentaci´on de la teor´ıa de funtores derivados usando el lenguaje de la categor´ıa derivada [4]. En el segundo cap´ıtulo, se introduce el concepto de categor´ıa de singularidades como un caso particular de localizaci´on de Verdier, y se estudia su interpretaci´on geom´etrica. Adem´as, se desarrolla el c´alculo de la categor´ıa de singularidades en el caso particular de una anillo cuasi-Frobenius. Para ello, se hace uso de la estructura de categor´ıa triangulada de la categor´ıa estable en el caso autoinyectivo. En la exposici´on, se presupone familiaridad con el lenguaje b´asico de la teor´ıa de categor´ıas [8, Ch. 2],[15] y la teor´ıa de funtores derivados cl´asicos [13], [19, Ch. 1-3]. Adem´as, para algunos ejemplos, se hace uso de herramientas de la teor´ıa de representaciones de ´algebras de dimensi´on finita [2], [3].

Unlike the homotopy category of complexes over an abelian category A, the derived category encodes all the homological behaviour of the category A without losing information. Moreover, derived categories provide an adequate framework to develop the theory of derived functors and spectral sequences, fundamental tools of homological algebra. Derived categories are obtained as a particular case of a process of localisation in triangulated categories: Verdier localisation [17]. We will study the generalities of triangulated categories and Verdier quotients following [9], and we will show explicit computations of derived categories throughout the exposition. We will conclude with an application of Verdier localisation to geometry by introducing the singularity category, and considering the particular case of the singularity category of a quasi-Frobenius ring [14].

Universidad de Sevilla. Grado en Matemáticas