La conjetura de modularidad de Serre es uno de los resultados m´as importantes en la teor´ıa de n´umeros de las ´ultimas d´ecadas. Propuesta por Jean-Pierre Serre en 1975, la conjetura predice que cada representaci´on de Gal(Q/Q) m´odulo p, impar, irreducible y bidimensional proviene de una forma modular, y fue demostrada en su totalidad por Chandrashekhar Khare y Jean-Pierre Wintenberger en 2008. El objetivo de este proyecto es recopilar los conceptos y resultados necesarios para enunciar y entender la conjetura de modularidad de Serre. Adem´as, se busca motivar la definici´on de los par´ametros ´optimos para los que existe una forma modular asociada a una representaci´on de Galois, en las condiciones mencionadas anteriormente. Finalmente, se ilustrar´a la conjetura con un ejemplo, y se demostrar´a el ´ultimo teorema de Fermat como consecuencia de la misma.

Serre’s modularity conjecture is one of the most important results in number theory in recent decades. Proposed by Jean-Pierre Serre in 1975, the conjecture predicts that every odd, irreducible, two-dimensional representation of Gal(Q/Q) modulo p arises from a modular form. It was fully proven by Chandrashekhar Khare and Jean-Pierre Wintenberger in 2008. The objective of this project is to gather the necessary concepts and results to state and understand Serre’s modularity conjecture. Additionally, it aims to motivate the definition of optimal parameters for which there exists a modular form associated with a Galois representation under the aforementioned conditions. Finally, the conjecture will be illustrated with an example, and Fermat’s last theorem will be proved as a consequence of it.

Universidad de Sevilla. Grado en Matemáticas