Certains problèmes ne peuvent être résolus efficacement avec les ordinateurs actuels, dits “classiques”. Certains algorithmes quantiques apportent des solu- tions théoriques à ces problèmes, qui pourraient être résolus efficacement si un ordinateur quantique, sous-entendu, universel, pouvait implémenter ces algo- rithmes. Il se trouve que la construction d’un tel ordinateur quantique s’avère une tâche très compliquée, limitée aujourd’hui fortement par les technologies à notre disposition. Ceci étant dit, les recherches précédemment citées durant, des simulateurs quantiques specialisés ont déjà été capables de résoudre certaines versions modestes de ces problèmes. Les simulateurs quantiques actuels sont en effet, soit des ordinateurs quantiques effectuant une tâche spécifique, soit des machines quantiques analogiques mimant le phénomène physique d’intérêt.Les dénommées marches quantiques, évolutions quantiques locales sur graphes discrets, sont un outil très pratique pour simuler certains systèmes physiques. Nous nous limiterons à leur version à temps discret, les marches quantiques à temps discret (MQTD). Dans certaines limites en espace-temps continu, ces marches quantiques coincident avec des équations d’onde pour fermions rela- tivistes, dont l’archétype et pilier est l’équation de Dirac. Dans la présente thèse, nous poursuivons l’étude des propriétés des MQTD comme possibles schémas de simulation quantique. Nous pouvons résumer nos résultats en trois parties: i) Nous introduisons un schéma MQTD permettant de simuler, dans la limite au continu, la dynamique de fermions relativistes dans une théorie de branes; ceci ouvre la possibilité d’étudier différents modèles de théories Kaluza-Klein; ii) Nous discutons l’invariance de jauge U(1), i.e., électromagnétique, des MQTD, nous comparons notre modèle aux invariances précédemment introduites dans la littérature; notre invariance de jauge présente de fortes similitudes avec celle des théories de jauge sur réseau; iii) Nous introduisons des MQTD sur grilles non-rectangulaires, plus précisément, triangulaires et hexagonales, avec toujours comme condition de retrouver l’équation de Dirac au continuum; ces modèles peuvent être étendus au moyen d’opérateurs unitaires locaux spatiotemporelle- ment inhomogènes et n’agissant que sur l’espace interne du marcheur, afin de générer dans la limite au continu l’equation de Dirac en espace-temps courbe.

Ciertos tipos de problemas no pueden resolverse usando los actuales ordenadores clásicos. Una forma de encontrar una solución, es mediante el uso de orde- nadores cuánticos. Sin embargo, construir un ordenador cuántico es realmente complicado actualmente, debido a las limitaciones tecnológicas. Mientras tanto, los simuladores cuánticos han sido capaces de resolver algunos de estos proble- mas, ya que los simuladores cuánticos son más accesibles experimentalmente.Las llamadas caminatas cuánticas, en su versión discreta, son una herramienta muy útil para simular ciertos sistemas físicos. En el límite al continuo, se puede obtener una serie de ecuaciones diferenciales, particularmente, la ecuación de Dirac entre ellas. En la presente tesis, se seguirán estudiando las propiedades de las caminatas cuánticas, como posibles simuladores cuánticos. Podemos resumir los resultados en: i) Se introduce un modelo de caminata cuántica, en el que se simula, en el continuo, la dinámica de fermiones en una teoría de branas. Eso abre la posibilidad de estudiar diferentes modelos de teorías de Kaluza-Klein; ii) Se discute la invariancia gauge en caminatas cuánticas, acopladas a campos electromagnéticos, donde se exhiben similitudes y diferencias con modelos pre- vios. Este modelo presenta conexiones con la invariancia gauge realizada en "lattice gauge theories"; iii) Se introducen caminatas cuánticas sobre redes no rectangulares, como la red triangular o hexagonal, con el propósito de simular la ecuación de Dirac en el límite al continuo. Estos modelos se pueden extender, por medio de operadores locales unitarios, que permiten reproducir la dinámica de fermiones en espacio tiempo curvo.

There are many problems that cannot be solved using current classical comput- ers. One manner to approach a solution of these systems is by using quantum computers. However, building a quantum computer is really challenging from the experimental side. Quantum simulators have been capable to solve some of these problems, as they are realizable experimentally.Discrete Time Quantum Walks (DTQWs) have been proved to be an useful tool to quantum simulate physical systems. In the continuous limit, a family of differential equations can be achieved, in particular, the Dirac equation can be recovered. In this thesis we study QWs as possible schemes for quantum simula- tion. Specifically, we can summarize our results in: i) We introduce a QW-based model in which a brane theory can be simulated in the continuum, opening the possibility to study more general theories with extra dimensions; ii) Elec- tromagnetic gauge invariance in QWs is discussed, presenting some similarities and differences to previous models. This QW model also makes a connection to gauge invariance in lattice gauge theories (LGT); iii) We introduce QWs over non- rectangular lattices, such a triangular or honeycomb structures, for the purpose of simulating the Dirac equation in the continuum. We also extent these models, by introducing local coin operators, that allow us to reproduce the dynamics of quantum particles under a curved space time.