Dans ce travail, il sera question de certains résultats majeurs sur la dimension et la théorie spectrale des ensembles fractals auto-affines et auto-similaires. Après une exposition sur la définition des fonctions itérées sous-jacentes, des résultats de la théorie des mesures sont utilisés afin de déterminer la dimension Hausdorff d'ensembles auto-similaires arbitraires. La dimension est ensuite généralisée aux classes d'ensembles auto-affines par le biais de la fonction valeur singulière ainsi que par des résultats probabilistiques. Une analyse détaillée du Laplacien est ensuite donnée sur le “Gasket” de Sierpinski afin d'étendre le théorème classique de Szego sur les limites. Cette analyse repose sur l'existence de fonctions propres localisées, ce qui ne peut être garanti sur le “flocon de neige“ de Koch. Ce travail conclut donc sur une revue des études numériques des problèmes aux limites de Dirichlet et Neumann pour le domaine "flocon de neige"

In this work, we review some of the major results concerning dimension and spectral theory on self-affine and self-similar fractal sets. After a focused exposition on the underlying iterated function systems, measure theoretic results are used to determine the Hausdorff dimension of arbitrary self-similar sets. The dimension is then generalized to classes of self-affine sets, using the singular value function as well as probabilistic results. A detailed analysis of the Laplacian is given on the Sierpinski Gasket, to develop extensions of the classical Szego Limit Theorem. This analysis is predicated upon existence of localized eigenfunctions, something which cannot be guaranteed on the Koch Snowflake. This work hence finishes with a review of numerical studies on the Dirichlet and Neumann boundary value problems for the snowflake domain

Jakobson, Dmitry (Supervisor1)

Chen, Linan (Supervisor2)