Le sujet principal de cette thèse est l'étude de l'espace de modules des fibrés principaux sur une surface de Riemann compacte, et aussi des espaces de modules liés des fibrés de Higgs et des systèmes locaux. Les modifications de Hecke sont utilisées pour paramétrer l'espace de modules des fibrés principaux dans quelques instances; bien qu'elle existe dans la littérature, on a tenté de systématiser l'exposition sur des modifications de Hecke. Un aspect nouveau de cette thèse est l'usage de la compactification De Concini--Procesi d'un groupe algébraique complexe semi-simple dans la théorie des déformations nécessaire pour la paramétrisation. On a prouvé quelques nouveaux énoncés sur ces compactifications, nécessaires pour la théorie des déformations. Les derniers chapitres donnent un compte rendu de la géométrie symplectique des espaces de modules de fibrés de Higgs et des systèmes locaux découverte par N.J. Hitchin et développé plus tard par I. Biswas et S. Ramanan, F. Bottacin, et E. Markman, et aussi de la déformation isomonodromique, ce qui a des racines dans le problème de Riemann--Hilbert. Finalement, en se servant des paramétrisations pour des modules des fibrés principaux obtenues auparavant, on prouve un résultat de I. Krichever, généralisé par J. Hurtubise, dans le cas des fibrés principaux, qui donne une relation entre quelques uns des hamiltoniens de Hitchin et les différences dans les flots isomonodromiques.

The central weight of this thesis lies in the study of the moduli space of principal bundles over a compact Riemann surface, as well as the closely related moduli spaces of Higgs bundles and local systems. Hecke modifications are used to parametrize the moduli space of principal bundles in certain cases; while extant in the literature, an attempt has been made here to systematize the exposition on Hecke modifications. One novel aspect of the thesis is the use of the "wonderful" or De Concini--Procesi compactification of a semisimple complex algebraic group of adjoint type to develop the deformation theory necessary for the parametrization. A few new facts about these compactifications are proved as were necessary for the deformation theory. The later chapters review the symplectic geometry of the moduli spaces of Higgs bundles and local systems as discovered by N.J. Hitchin and further developed by I. Biswas and S. Ramanan, F. Bottacin, and E. Markman, as well as the theory of isomonodromic deformation, which goes back to the Riemann--Hilbert problem. Finally, using the parametrizations for moduli of principal bundles obtained, we prove a result of I. Krichever, generalized by J. Hurtubise, in the principal bundle case, relating some of the Hitchin hamiltonians to differences in isomonodromic flows.

Hurtubise, Jacques Claude (Internal/Supervisor)