Рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения вида $$ \tau(y)- \lambda ^{2m} \varrho(x) y=0, \qquad \tau(y) =\sum_{k,s=0}^m(\tau_{k,s}(x)y^{(m-k)}(x))^{(m-s)}, $$ на конечном интервале $x\in[0,1]$. Здесь функции $\tau_{0,0}$ и $\varrho$ абсолютно непрерывны и положительны, а коэффициенты дифференциального выражения $\tau(y)$ подчинены условиям $$ \tau_{k,s}^{(-l)}\in L_2[0,1], \qquad 0\le k,s \le m, \quad l=\min\{k,s\}, $$ где $f^{(-k)}$ обозначает $k$-ю первообразную функции $f$ в смысле теории распределений. Наша цель - получить в этом случае аналоги классических асимптотических представлений типа Биркгофа для фундаментальной системы решений указанного уравнения по спектральному параметру при $\lambda \to \infty$ в некоторых секторах комплексной плоскости $\mathbb C$. Мы сводим это уравнение к системе уравнений первого порядка вида $$ \mathbf y'=\lambda\rho(x)\mathrm B\mathbf y+\mathrm A(x)\mathbf y+\mathrm C(x,\lambda)\mathbf y, $$ где $\rho$ - положительная функция, $\mathrm B$ - матрица с постоянными элементами, элементы матриц $\mathrm A(x)$ и $\mathrm C(x,\lambda)$ - суммируемые функции и выполнено условие $\|\mathrm C(x,\lambda)\|_{L_1}=o(1)$ при $\lambda \to \infty$. Для таких систем мы получаем новые результаты об асимптотическом представлении фундаментальной матрицы решений, которые используем для асимптотического анализа указанных выше скалярных уравнений высокого порядка. Библиография: 44 названия.