Dans cet article, nous présentons une étude détaillée du système d'équations de différence suivant $ \begin{equation*} x_{n+1} = \frac{a}{1+y_{n}x_{n-1}}, \ y_{n+1} = \frac{b}{1+x_{n}y_{n-1}}, \ n\in\mathbb{N}_{0}, \end{equation*} $ où les paramètres $ a $ , $ b $ , et les valeurs initiales $ x_{-1}, \ ; x_{0}, \ y_{-1}, \ ; y_{0} $ sont des nombres réels arbitraires tels que $ x_{n} $ et $ y_{n} $ sont définis. Nous montrons principalement en utilisant une méthode pratique que la solution générale du système ci-dessus peut être représentée par des zéros caractéristiques de l'équation linéaire du troisième ordre associée. En outre, nous avons caractérisé les solutions bien définies du système. Enfin, nous étudions le comportement à long terme des solutions bien définies en utilisant les formes de représentation obtenues.

En este trabajo, presentamos un estudio detallado del siguiente sistema de ecuaciones de diferencia $ \begin{equation*} x_{n+1} = \frac{a}{1+y_{n}x_{n-1}}, \ y_{n+1} = \frac{b}{1+x_{n}y_{n-1}}, \ n\in\mathbb{N}_{0}, \end{equation*} $ donde se definen los parámetros $ a $, $ b $, y los valores iniciales $ x_{-1}, \; x_{0}, \ y_{-1}, \; y_{0} $ son números reales arbitrarios tales que $ x_{n} $ y $ y_{n} $. Mostramos principalmente mediante el uso de un método práctico que la solución general del sistema anterior puede representarse mediante ceros característicos de la ecuación lineal de tercer orden asociada. Además, caracterizamos las soluciones bien definidas del sistema. Finalmente, estudiamos el comportamiento a largo plazo de las soluciones bien definidas utilizando las formas de representación obtenidas.

In this paper, we present a detailed study of the following system of difference equations $ \begin{equation*} x_{n+1} = \frac{a}{1+y_{n}x_{n-1}}, \ y_{n+1} = \frac{b}{1+x_{n}y_{n-1}}, \ n\in\mathbb{N}_{0}, \end{equation*} $ where the parameters $ a $, $ b $, and the initial values $ x_{-1}, \; x_{0}, \ y_{-1}, \; y_{0} $ are arbitrary real numbers such that $ x_{n} $ and $ y_{n} $ are defined. We mainly show by using a practical method that the general solution of the above system can be represented by characteristic zeros of the associated third-order linear equation. Also, we characterized the well-defined solutions of the system. Finally, we study long-term behavior of the well-defined solutions by using the obtained representation forms.

في هذه الورقة، نقدم دراسة مفصلة لنظام معادلات الاختلاف التالي $\begin{equation*} x _{ n+1 }=\frac{a }{ 1+y _{ n}x _{ n -1}}, \ y _{ n+1 }=\frac{b }{ 1+x _{ n}y _{ n -1}}, \ n\in\mathbb{N }_{ 0}, \end{equation *}$ حيث تكون المعلمات $ a $, $ b $, والقيم الأولية $ x _{-1}, \; x _{ 0}, \ y _{-1}, \; y _{ 0 }$ أرقامًا حقيقية عشوائية بحيث يتم تعريف $ x _{ n }$ و $ y _{ n }$. نوضح بشكل أساسي باستخدام طريقة عملية أنه يمكن تمثيل الحل العام للنظام أعلاه بالأصفار المميزة للمعادلة الخطية من الدرجة الثالثة المرتبطة. كما ميزنا الحلول المحددة جيدًا للنظام. أخيرًا، ندرس السلوك طويل الأجل للحلول المحددة جيدًا باستخدام نماذج التمثيل التي تم الحصول عليها.