La théorie des ensembles souples est un thème d'intérêt pour de nombreux auteurs travaillant dans divers domaines en raison de son riche potentiel d'applications dans de nombreuses directions. Elle a attiré l'attention des topologues qui cherchent toujours à généraliser et à appliquer les notions topologiques sur différentes structures. Pour contribuer à ce domaine de recherche, dans cet article, nous formulons de nouveaux axiomes de séparation douce, à savoir $tt $ -soft $ \alpha T_i\ ; (i = 0, 1, 2, 3, 4) $ et $ tt $-soft $ \alpha $-regular spaces. Ils sont définis en utilisant les relations d'appartenance totale et de non-appartenance totale par rapport aux points ordinaires. Cette façon de définir nous aide à généraliser les propriétés comparables existantes via la topologie générale et à supprimer une condition stricte de la forme des sous-ensembles ouverts et fermés souples d'espaces $ \alpha $-réguliers souples. À l'aide d'exemples, nous montrons les relations entre eux ainsi qu'avec les espaces réguliers souples $ \alpha T_i\ ; (i = 0, 1, 2, 3, 4) $ et souples $ \alpha $ . Nous explorons également dans quelles conditions ils sont conservés entre l'espace topologique mou et ses espaces topologiques paramétriques. Nous caractérisons les espaces $tt $ -soft $ \alpha T_1 $ et $ tt $ -soft $ \alpha $ -réguliers et donnons quelques conditions qui garantissent l'équivalence de $ tt $ -soft $ \alpha T_i\ ; (i = 0, 1, 2) $ et l'équivalence de $ tt $ -soft $ \alpha T_i\ ; (i = 1, 2, 3) $ . En outre, nous étudions certaines de leurs interrelations et certaines notions topologiques douces telles que la compacité molle, les espaces mous du produit et la somme des espaces topologiques mous. Au final, nous étudions les principales propriétés du théorème du point mou fixe $ \alpha $ .

La teoría de conjuntos blandos es un tema de interés para muchos autores que trabajan en diversas áreas debido a su rico potencial para aplicaciones en muchas direcciones. Recibió la atención de los topólogos que siempre buscan generalizar y aplicar las nociones topológicas sobre diferentes estructuras. Para contribuir a esta área de investigación, en este trabajo, formulamos nuevos axiomas de separación suave, a saber, $ tt $ -soft $ \alpha T_i\; (i = 0, 1, 2, 3, 4) $ y $ tt $-soft $ \alpha $ -espacios regulares. Se definen utilizando las relaciones totales de pertenencia y las relaciones totales de no pertenencia con respecto a los puntos ordinarios. Esta forma de definición nos ayuda a generalizar propiedades comparables existentes a través de la topología general y a eliminar una condición estricta de la forma de subconjuntos blandos abiertos y cerrados de espacios blandos $ \alpha $-regulares. Con la ayuda de ejemplos, mostramos las relaciones entre ellos, así como con los espacios blandos $ \alpha T_i\; (i = 0, 1, 2, 3, 4) $ y los espacios blandos $ \alpha $-regulares. Además, exploramos en qué condiciones se mantienen entre el espacio topológico blando y sus espacios topológicos paramétricos. Caracterizamos los espacios $ tt $-soft $ \alpha T_1 $ y $ tt $-soft $ \alpha $-regulares y damos algunas condiciones que garantizan la equivalencia de $ tt $-soft $ \alpha T_i\; (i = 0, 1, 2) $ y la equivalencia de $ tt $-soft $ \alpha T_i\; (i = 1, 2, 3) $. Además, investigamos algunas interrelaciones de ellos y algunas nociones topológicas blandas como la compacidad blanda, los espacios blandos del producto y la suma de espacios topológicos blandos. Al final, estudiamos las propiedades principales del teorema del punto blando fijado en $ \alpha $.

Soft set theory is a theme of interest for many authors working in various areas because of its rich potential for applications in many directions. it received the attention of the topologists who always seeking to generalize and apply the topological notions on different structures. To contribute to this research area, in this paper, we formulate new soft separation axioms, namely $ tt $-soft $ \alpha T_i\; (i = 0, 1, 2, 3, 4) $ and $ tt $-soft $ \alpha $-regular spaces. They are defined using total belong and total non-belong relations with respect to ordinary points. This way of definition helps us to generalize existing comparable properties via general topology and to remove a strict condition of the shape of soft open and closed subsets of soft $ \alpha $-regular spaces. With the help of examples, we show the relationships between them as well as with soft $ \alpha T_i\; (i = 0, 1, 2, 3, 4) $ and soft $ \alpha $-regular spaces. Also, we explore under what conditions they are kept between soft topological space and its parametric topological spaces. We characterize $ tt $-soft $ \alpha T_1 $ and $ tt $-soft $ \alpha $-regular spaces and give some conditions that guarantee the equivalence of $ tt $-soft $ \alpha T_i\; (i = 0, 1, 2) $ and the equivalence of $ tt $-soft $ \alpha T_i\; (i = 1, 2, 3) $. Further, we investigate some interrelations of them and some soft topological notions such as soft compactness, product soft spaces and sum of soft topological spaces. In the end, we study the main properties of of $ \alpha $-fixed soft point theorem.

نظرية المجموعات اللينة هي موضوع يحظى باهتمام العديد من المؤلفين العاملين في مجالات مختلفة بسبب إمكاناتها الغنية للتطبيقات في العديد من الاتجاهات. وقد حظيت باهتمام علماء الطوبولوجيا الذين يسعون دائمًا إلى تعميم وتطبيق المفاهيم الطوبولوجية على الهياكل المختلفة. للمساهمة في مجال البحث هذا، نقوم في هذه الورقة بصياغة بديهيات فصل ناعمة جديدة، وهي $ tt $- soft $\alpha T_i \؛ (i = 0، 1، 2، 3، 4) $ و $ tt $- soft $\alpha $- regular spaces. يتم تعريفها باستخدام مجموع الانتماء ومجموع العلاقات غير الانتماء فيما يتعلق بالنقاط العادية. تساعدنا طريقة التعريف هذه على تعميم الخصائص القابلة للمقارنة الحالية عبر الطوبولوجيا العامة وإزالة حالة صارمة لشكل المجموعات الفرعية المفتوحة والمغلقة الناعمة للمساحات العادية $\alpha $ الناعمة. بمساعدة الأمثلة، نعرض العلاقات بينهما وكذلك مع $\alpha T_i \؛ (i = 0، 1، 2، 3، 4) $ والمساحات العادية $\alpha $. أيضًا، نستكشف تحت أي ظروف يتم الاحتفاظ بها بين الفضاء الطوبولوجي الناعم والمساحات الطوبوغرافية البارامترية. نحن نميز $ tt $- soft $\alpha T _1 $ و $ tt $- soft $\alpha $- المساحات العادية ونعطي بعض الشروط التي تضمن معادلة $ tt $- soft $\alpha T_i \؛ (i = 0، 1، 2) $ ومعادلة $ tt $- soft $\alpha T_i \؛ (i = 1، 2، 3) $. علاوة على ذلك، نقوم بالتحقيق في بعض العلاقات المتبادلة بينها وبعض المفاهيم الطوبوغرافية الناعمة مثل الاكتناز الناعم والمساحات الناعمة للمنتج ومجموع المساحات الطوبوغرافية الناعمة. في النهاية، ندرس الخصائص الرئيسية لنظرية النقطة اللينة الثابتة $\alpha $.