En esta investigación se presenta un método numérico de un sistema de ecuaciones diferenciales derivadas de la función logística que modela el crecimiento de poblaciones, particularmente para el crecimiento del área y radio de una especie de hongo, el modelo es una corrección fraccionaria con derivadas temporales de Caputo. El sistema tiene puntos de equilibrio: un nodo atractor y uno repulsor. Con un teorema de punto fijo, se verifica la existencia de soluciones, también se prueba la estabilidad asintótica de las mismas. Numéricamente se utilizan diferencias finitas L1 para aproximar las derivadas fraccionarias, se verifica que el orden de convergencia del método es lineal (en concordancia con el orden de consistencia de las diferencias L1), este método es explícito y converge a la solución del modelo continuo. Finalmente se realizan simulaciones del crecimiento radial y del área con diferentes valores para la derivada fraccionaria que concuerdan con el análisis previo.