Die Verwendung kleinerer neuronaler Netze zur Lösung der Poisson-Gleichung ist aufgrund ihrer Geschwindigkeit und Effizienz eine gute Alternative zu klassischen Ansätzen. Traditionelle numerische Methoden, wie die Finite-Elemente-Methode (FEM) und die Finite-Differenzen-Methode (FDM), können unter hohen Rechenkosten, schlechter Konditionierung und Problemen beim Lösen von Gleichungen in höheren Dimensionen leiden. Auf maschinellem Lernen basierende Ansätze, insbesondere physikinformierte neuronale Netze (PINNs) und extrem lernende Maschinen (ELMs), bieten alternative Strategien zur Lösung partieller Differentialgleichungen (PDEs), ohne dass eine explizite Diskretisierung mittles Grids erforderlich ist. In dieser Arbeit wird die Entwicklung effizienter Löser für die Poisson-Gleichung mit Hilfe von physikalisch informierten extrem lernenden Maschinen (PIELMs) untersucht. PIELMs kombinieren die schnelle Trainingsfähigkeit von ELMs mit physikbasierten Einschränkungen und ermöglichen so eine effiziente Approximation von PDE-Lösungen. Ein Schwerpunkt dieser Arbeit ist die Untersuchung und Auswahl von Basisfunktionen für die PIELM-Architektur, die sich direkt auf die numerische Stabilität, Genauigkeit und Berechnungseffizienz auswirkt. Die Studie vergleicht systematisch verschiedene Basisfunktionen, einschließlich Radialer Basisfunktionen (RBFs), B-Splines, Tschebyscheff-Polynome und Fourier-Reihen, und analysiert deren Einfluss auf die Lösungsqualität. Darüber hinaus werden verschiedene Domänen-Sampling-Strategien - wie Poisson Disk Sampling, Sobol-Sequenzen und einheitliche Gitter - untersucht, um ihren Einfluss auf die Zustandszahl der Basisfunktions-Systemmatrix zu bestimmen. Die experimentellen Ergebnisse zeigen, dass Poisson Disk Sampling die numerische Stabilität in RBF-basierten PIELMs durch Verringerung des Anstiegs der Zustandszahlen deutlich verbessert, während Tschebyscheff-Polynome und B-Splines gut konditionierte Approximationen liefern, die für strukturierte und adaptive Diskretisierungen geeignet sind. Fourier-Reihen sind zwar in periodischen Bereichen wirksam, zeigen aber bei der Lösung allgemeiner PDEs aufgrund von Überanpassungseffekten bei hochfrequenten Komponenten Grenzen. Zusätzlich dazu werden Boosting-Techniken als Mittel zur Verbesserung der Lösungsgenauigkeit untersucht. Die Ergebnisse dieser Forschung tragen zur Weiterentwicklung von physikalisch informierten maschinellen Lernmethoden bei und zeigen deren Potenzial, schnelle, genaue und skalierbare Lösungen für PDEs zu liefern. Zukünftige Forschungsrichtungen umfassen adaptive Basisfunktionsauswahl, die Erweiterung von PIELMs auf hochdimensionale und zeitabhängige PDEs und die Lösung des Streufeldproblems im Mikromagnetismus.

The use of smaller Neural Networks to solve the Poisson equation is a valuable alternative to classical approaches due to their speed and efficiency. Traditional numerical methods, such as the finite element method (FEM) and finite difference method (FDM), can suffer from high computational cost, ill-conditioning, and difficulties in handling higher dimensions. Machine learning-based approaches, particularly Physics-Informed Neural Networks (PINNs) and Extreme Learning Machines (ELMs), offer alternative strategies for solving Partial Differential Equations (PDEs) without requiring explicit mesh-based discretization. This thesis investigates the development of efficient solvers for the Poisson equation using Physics-Informed Extreme Learning Machines (PIELMs). PIELMs combine the rapid training capability of ELMs with physics-based constraints, enabling the efficient approximation of PDE solutions. A key focus of this thesis is the choice of basis functions for the PIELM architecture, which directly affects numerical stability, accuracy, and computational efficiency. The study systematically compares various basis functions, including Radial Basis Functions (RBFs), B-Splines, Chebyshev polynomials, and Fourier series, analyzing their impact on solution quality. Additionally, different sampling strategies—such as Poisson Disk Sampling, Sobol Sequences, and Uniform Sampling-are examined to determine their influence on the condition number of the basis function system matrix. The experimental results demonstrate potential advantages and drawbacks of each of those combinations. In addition, boosting techniques are explored as a means to enhance solution accuracy. The findings of this research contribute to the advancement of physics-informed machine learning methods, demonstrating their potential to provide fast, accurate, and scalable solutions for PDEs. Future research directions include adaptive basis function selection, extending PIELMs to high-dimensional and time-dependent PDEs and tackling the stray field problem in micromagnetism.