Let μ be a positive measure concentrated on R+ generating a natural exponential family (NEF) F with quadratic variance function VF(m), m being the mean parameter of F. It is shown that v(dx) = (γ+x)μ(γ ≥ 0) (γ ≥ 0) generates a NEF G whose variance function is of the form l(m)Δ+cΔ(m), where l(m) is an affine function of m, Δ(m) is a polynomial in m (the mean of G) of degree 2, and c is a constant. The family G turns out to be a finite mixture of F and its length-biased family. We also examine the cases when F has cubic variance function and show that for suitable choices of γ the family G has variance function of the form P(m) + Q(m)m where P, Q are polynomials in m of degree m2 while Δ is an affine function of m. Finally we extend the idea to two dimensions by considering a bivariate Poisson and bivariate gamma mixture distribution. Soit μ une mesure positive concentree sur R+ generant une famille exponentielle naturelle (NEF) F avec variance, VF(m), quadratique en la moyenne, m, de F. On montre que v(dx) = (γ+x)μ(dx) (γ m 0) genere une NEF, G, dont la fonction variance est de la forme l(m)m+cΔ(m), ou l(m) est une fonction affine de m, Δ(m) est un polynome de degre 2 en m (la moyenne de G) et c est une constante. II s'avere que la famille G est un melange fini de F et d'une famille particuliere qui lui est associee. On examine aussi les cas ou F a une fonction variance de degre 3. On montre qu'alors, pour des choix appropries de γ, la famille G a une fonction variance de la forme P(m) + Q(m)m, ou P et Q sont des polynǒmes de degre non superieur a deux en m et Δ est une fonction affine de m. Finalement, une generalisation α deux dimensions est abordee en considerant des melanges de lois de Poisson et gamma bivariees.