Considérons l'équation de réaction-diffusion stochastique avec une non-linéarité logarithmique entraînée par le bruit blanc espace-temps : du(t,x)=1 2Δu (t,x)dt+b(u(t,x))dt+σ(u(t,x))W(dt,dx),t>0,x∈I,u(0,x)=u0(x),x∈I. Lorsque I est un intervalle compact, disons I=[0,1], le bien-fondé de l'équation ci-dessus a été établi dans [7] (Ann. Probab. 47:1, 2019). Le cas où I=R a été laissé ouvert. L'obstacle essentiel est causé par l'explosion de la norme suprême de la solution, supx∈R|u(t,x)|=∞, rendant invalide la procédure de troncature habituelle. Dans cet article, nous prouvons qu'il existe une solution globale unique à l'équation de réaction-diffusion stochastique sur l'ensemble de la ligne réelle R avec une non-linéarité logarithmique. En raison de la nature de la non-linéarité, pour obtenir l'unicité, nous sommes obligés de travailler avec le moment de premier ordre des solutions sur l'espace C([0,T],Ctem(R)) avec une famille de normes spécialement conçue. Notre approche dépend fortement des nouvelles estimations précises du moment d'ordre inférieur de la convolution stochastique et d'un nouveau type d'inégalités de Gronwall que nous avons obtenues, qui présentent un intérêt en soi.

Considere la ecuación estocástica de reacción-difusión con no linealidad logarítmica impulsada por el ruido blanco del espacio-tiempo: du(t,x)=1 2Δu (t,x)dt+b(u(t,x))dt+σ(u(t,x))W(dt,dx),t>0,x∈I,u(0,x)=u0(x),x∈I. Cuando I es un intervalo compacto, digamos I=[0,1], la buena posición de la ecuación anterior se estableció en [7] (Ann. Probab. 47:1, 2019). El caso en el que I=R se dejó abierto. El obstáculo esencial es causado por la explosión de la norma suprema de la solución, supx∈R|u(t,x)|=∞, invalidando el procedimiento de truncamiento habitual. En este artículo, demostramos que existe una solución global única para la ecuación estocástica de reacción-difusión en toda la línea real R con no linealidad logarítmica. Debido a la naturaleza de la no linealidad, para obtener la singularidad, nos vemos obligados a trabajar con el momento de primer orden de las soluciones en el espacio C([0,T],Ctem(R)) con una familia de normas especialmente diseñadas. Nuestro enfoque depende en gran medida de las nuevas y precisas estimaciones de momento de orden inferior de la convolución estocástica y de un nuevo tipo de desigualdades de Gronwall que obtuvimos, que son de interés por derecho propio.

Consider the stochastic reaction-diffusion equation with logarithmic nonlinearity driven by space-time white noise: du(t,x)=1 2Δu(t,x)dt+b(u(t,x))dt+σ(u(t,x))W(dt,dx),t>0,x∈I,u(0,x)=u0(x),x∈I. When I is a compact interval, say I=[0,1], the well-posedness of the above equation was established in [7] (Ann. Probab. 47:1, 2019). The case where I=R was left open. The essential obstacle is caused by the explosion of the supremum norm of the solution, supx∈R|u(t,x)|=∞, making the usual truncation procedure invalid. In this paper, we prove that there exists a unique global solution to the stochastic reaction-diffusion equation on the whole real line R with logarithmic nonlinearity. Because of the nature of the nonlinearity, to get the uniqueness, we are forced to work with the first order moment of the solutions on the space C([0,T],Ctem(R)) with a specially designed family of norms. Our approach depends heavily on the new, precise lower order moment estimates of the stochastic convolution and a new type of Gronwall's inequalities we obtained, which are of interest on their own right.

ضع في اعتبارك معادلة الانتشار العشوائي للتفاعل مع اللاخطية اللوغاريتمية المدفوعة بالضوضاء البيضاء الزمكانية: du(t,x)=1 2 Δu (t,x)dt+b(u(t,x))dt+σ(u(t,x))W(dt,dx),t>0,x? I,u(0,x)=u0(x),x? I. عندما أكون فاصلًا مضغوطًا، على سبيل المثال I=[0،1]، تم تحديد الوضعية الجيدة للمعادلة المذكورة أعلاه في [7] (Ann. Probab. 47:1، 2019). الحالة التي تُركت فيها I=R مفتوحة. العائق الأساسي ناتج عن انفجار معيار سوبريموم للمحلول، سوبكس ر |ش(ر، س)|=∞، مما يجعل إجراء الاقتطاع المعتاد غير صالح. في هذه الورقة، نثبت أن هناك حلًا عالميًا فريدًا لمعادلة الانتشار العشوائي على الخط الحقيقي الكامل R مع اللاخطية اللوغاريتمية. نظرًا لطبيعة اللاخطية، للحصول على التفرد، نضطر إلى العمل مع اللحظة الأولى من الحلول على المساحة C ([0،T]، Ctem (R)) مع عائلة من المعايير المصممة خصيصًا. يعتمد نهجنا بشكل كبير على التقديرات اللحظية الجديدة والدقيقة للالتفاف العشوائي ونوع جديد من متباينات جرونوال التي حصلنا عليها، والتي تهمنا بحد ذاتها.