Deja que sea un anillo primo Γ-cercano libre de 2 torsiones con el centro a ( ) . Supongamos que ( ? ,?) y ( ? ,?) son dos derivaciones generalizadas en ? . Demostramos los siguientes resultados: (i) si {\ displaystyle {\ mathrm {\ mathrm {\ mathrm {\ mathrm {\ mathrm {\ mathrm {\ mathrm {}}}}}}} = 0 o {\ displaystyle {\ mathrm {\ mathrm {\ mathrm {\ mathrm {\ mathrm {\ mathrm {\ mathrm {\}}}}}}}} = 0 o {\ mathrm {\ mathrm {\ mathrm {\ mathrm {\ mathrm {\ mathrm {\ mathrm {\ mathrm {\ mathrm {\}}}}}}} = ± [\ mathrm {\ mathrm { \ mathrm {\ mathrm {\ mathrm {\}}}} ]] o {\ mathrm {\ mathrm {\ mathrm {\ mathrm {\ mathrm {\}}}}}}}}} 2 ( \ mathrm {\ mathrm {\ mathrm {\ mathrm {\ mathrm {\ mathrm {\}}}}}) } 2 (\ mathrm {\ mathrm {\ mathrm {\ mathrm {\ mathrm {\ mathrm {\ mathrm {\ mathrm {0 } }}}}} ) }) para todo {\ mathrm {\ mathrm {\ mathrm {

Soit un premier Γ -near-ring libre à 2 torsions avec un centre ( ) . Soient deux dérivations généralisées sur la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la variable. Nous prouvons les résultats suivants : (i) si ? ( [ ? , ?] ? ) = 0 ou ? ( [ ? , ?] ? ) = ± [? , ?] ? ou ? 2 (?) ? ? ( ?) pour tous ?, ? ? ? ? , ? ? ? , ? ? ?, alors ? est un anneau Γ commutatif. (ii) Si ? ? ? ? et [ ? ( ? ) , ? ? ? ? = 0 pour tous ? ? ? , ? ? ? ?, ? ? ? ? ( ? ) ? ? (iii) Si ( ? ?, ? ? ? ?) agit comme une dérivation généralisée sur ?, alors ? ? = 0 ou ? = 0 .

Let 𝑁 be a 2-torsion free prime Γ -near-ring with center 𝑍 ( 𝑁 ) . Let ( 𝑓 , 𝑑 ) and ( 𝑔 , ℎ ) be two generalized derivations on 𝑁 . We prove the following results: (i) if 𝑓 ( [ 𝑥 , 𝑦 ] 𝛼 ) = 0 or 𝑓 ( [ 𝑥 , 𝑦 ] 𝛼 ) = ± [ 𝑥 , 𝑦 ] 𝛼 or 𝑓 2 ( 𝑥 ) ∈ 𝑍 ( 𝑁 ) for all 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝑁 , 𝛼 ∈ Γ , then 𝑁 is a commutative Γ -ring. (ii) If 𝑎 ∈ 𝑁 and [ 𝑓 ( 𝑥 ) , 𝑎 ] 𝛼 = 0 for all 𝑥 ∈ 𝑁 , 𝛼 ∈ Γ , then 𝑑 ( 𝑎 ) ∈ 𝑍 ( 𝑁 ) . (iii) If ( 𝑓 𝑔 , 𝑑 ℎ ) acts as a generalized derivation on 𝑁 , then 𝑓 = 0 or 𝑔 = 0 .

لنفترض أنها حلقة أولى خالية من الالتواء 2 -حلقة قريبة مع مركزها ( ) . ليكن كل من ( , ) و ( , , ) مشتقين معممين على . نحن نثبت النتائج التالية : ( 1 ) إذا كان ([