Mit \(D,x_0,y_0\in\mathbb N\) werde \(u:= x_0+y_0\sqrt{-D}\), \(\overline u:= x_0-y_0\sqrt{-D}\), \(\varepsilon:= | u| +x_0\), \(\overline\varepsilon:= | u| -x_0\), \(w:= \overline u/u\) gesetzt und \(\varphi\in ] -\pi,0[\) bezeichne den Hauptwert von arg\( w\). Mit teilerfremden \(m,n\in\mathbb N\), die \(m f^{-1}\) die Ungleichung \[ | q\Theta-p| \geq C| q| ^{-\lambda}\text{ mit }C:= (1+\cos(\varphi/2))/(4(| a_1| +| b_1|) \cdot(2\varepsilon\mu_n)^2f^\lambda). \] Daraus wird für \(D\in{\mathbb N}\), \(D\) kein Quadrat, folgendes Korollar abgeleitet. Ist die Gleichung \(x^2-Dy^2 = -1\) lösbar und \((x_0,y_0)\in{\mathbb N}^2\) ihre Fundamentallösung, so gilt: (i) Die Gleichung \((\ast)\;x^2+1=Dy^4\) ist dann und nur dann lösbar, wenn \(y_0\) ein Quadrat ist. (ii) Ist \(x_0+y_0\sqrt{D} > 64\), so hat \((\ast)\) höchstens eine Lösung \((x,y)\in{\mathbb N}^2\).