Sei \(F(z)\) die spezielle Gaußsche hypergeometrische Funktion \(\sum_{n\geq 0} ((b)_ n/ (c)_ n) z^ n\), wobei \((a)_ n:= a(a+1) \dots (a+n-1)\) für \(n\geq 0\) definiert und \(-c\neq 0,1,\dots\) vorausgesetzt sei. Sind nun \(b\), \(c\) rationale Parameter, so sind Irrationalität und lineare Unabhängigkeit von Werten von \(F\) an rationalen Argumentstellen in qualitativer und quantitativer Hinsicht bereits in zahlreichen Publikationen untersucht worden. In der vorliegenden Arbeit beweisen Verff. (via Padé-Approximation) zunächst ein Irrationalitätsmaß für \(F(q)\) für gewisse rationale \(q\) sowohl im archimedischen wie im \(p\)-adischen Fall. Diese allgemeinen Resultate können in vielen Spezialfällen von \(b\), \(c\) durch sorgfältiges Studium der arithmetischen Eigenschaften der (rationalen) Koeffizienten der Approximationspolynome verbessert werden. Diese Idee wurde zuerst von \textit{G. V. Chudnovsky} [Ann. Math., II. Ser. 117, 325-382 (1983; Zbl 0518.10038)] bei der Binomialfunktion und dann auch von anderen Autoren angewandt. Verff. leiten hier ein allgemeines Kriterium zur Auffindung eines gemeinsamen Teilers aller Koeffizienten ihrer Approximationspolynome her und wenden dieses dann auf die Logarithmus-Funktion an, um Ergebnisse von \textit{E. A. Rukhadze} [Vestn. Mosk. Univ., Ser. I, Mat. Mekh. 1987, No. 6, 25-29 (1987; Zbl 0635.10025)] zu verschärfen.