In dieser großen und inhaltsreichen Arbeit werden die Grundlagen eines neuen Zusammenhangs zwischen Algebra und algebraischer Topologie gelegt. [Ein zusammen mit \textit{C. K. Peng} verfaßter Vorläufer gleichen Titels erschien bereits in Bull. Am. Math. Soc., New. Ser. 3, 845--848 (1980; Zbl 0435.10016).] Ausgangspunkt war die Entdeckung, daß die Stufe (level) \(s(A)\) eines kommutativen Rings \(A\) eine beliebig gegebene natürliche Zahl \(n\) sein kann, genauer, daß \(A_ n={\mathbb{R}}[x_ 1,...,x_ n]/(1+x^ 2_ 1+...+x^ 2_ n)\) die Stufe \(s(A_ n)=n\) hat und daß dieses Ergebnis mit Hilfe eines Tricks in wenigen Zeilen aus dem Satz von Borsuk-Ulam herzuleiten ist. Hier werden nun für einen beliebigen topologischen Raum \(X\) mit Involution \(\varepsilon\) durch Vergleich mit den Sphären \(S^{n-1}\) (versehen mit der Antipodenabbildung -- als Standard-Involution) die folgenden Invarianten definiert: (level) \(s(X,\varepsilon)=\inf\{n:\) es existiert eine äquivariante Abbildung \(X\to S^{n-1}\},\) (colevel) \(s'(X,\varepsilon)=\sup\{m:\) es existiert eine äquivariante Abbildung \(S^{m-1}\to X\}\). Ferner sei \(A_ X\) der Ring der stetigen Funktionen \(f:X\to\mathbb C\) mit \(f(\varepsilon x)=f(x)\) für alle \(x\in X\). \(A_ X\) ist eine \(\mathbb R\)-Algebra. Schließlich sei für eine \(\mathbb R\)-Algebra \(A\) das colevel \(s'(A)\) definiert durch \(s'(A)=\sup\{m\geq 1: \exists\;\mathbb R\)-Algebrenhomomorphismus \(A\to A_{S^{m-1}}\}\) (und \(s'(A)=0\), falls kein solches \(m\) existiert). Es gelten dann die folgenden Hauptsätze: Theorem 1: \(s(X)=s(A_ X)\). Theorem 2: \(s'(X)\leq s'(A_ X)\). Gleichheit gilt, falls \(X\) eine affine Varietät über \(\mathbb R\) und \(\varepsilon\) die komplexe Konjugation ist. Theorem 3: Sei \((X,\varepsilon)\) ein Raum mit Involution, sei \(n\leq s'(X)\). Sei ferner \(f(t_ 1,\ldots,t_ n)\) ein reelles homogenes Polynom, \(g(t_ 1,\ldots,t_{n-1})\) ein reelles Polynom. Dann gilt: (1) \(f\) anisotrop über \(\mathbb R\) \(\Rightarrow\) \(f\) anisotrop über \(A_ X\); (2) \(g(a_ 1,\ldots,a_{n-1})\neq 0\) für alle \(a_ i\in\mathbb R\) \(\Rightarrow\) \(g(d_ 1,\ldots,d_{n-1})\neq 0\) für alle \(d_ i\in A_ X\). Als Anwendung dieser Theoreme kann man z.B. viele \(\mathbb R\)-Algebren \(A\) konstruieren, die eine vorgegebene Stufe \(s(A)\) oder Pythagoras-Zahl \(P(A)\) haben. Ferner gilt die Ungleichung \(s'(A)\leq\sigma (A)\leq s(A)\), wobei \(\sigma (A)=\min\{n: (n+1)\) ist isotrop über \(A\}\) das sog. ``sublevel'' von \(A\) ist. Für \(\mathbb R\)-Varietäten hat man \(s'(A_ X) = s'(\mathbb R [X])\) und \(s(A_ X)\leq s(\mathbb R[X])\). Die zweite Hälfte der Arbeit (\S\S 7--10) beschäftigt sich mit den Stiefelmannigfaltigkeiten \(V_{n,m}\) der orthonormalen \(m\)-Beine im \(\mathbb R^n\) und ihren Involutionen \[ \varepsilon_{r,s}: (v_ 1,\ldots,v_ m)\to (v_ 1,\ldots,v_ r,-v_{r+1},\ldots,-v_{r+s}) \] mit \(r+s=m\). Für den Fall \(m=2\) (und \(s=1\) oder \(s=2)\) können die Invarianten \(s(V_{n,m}, \varepsilon_{r,s})\), \(s'(V_{n,m}, \varepsilon_{r,s})\) vollständig berechnet werden. Für \(m>2\) ergeben sich einige Abschätzungen für diese Invarianten, die mit der Radon-Hurwitz-Zahl \(\rho(n)\) zusammenhängen. Ferner wird bewiesen: Theorem 4: Ein Raum \(X\) mit Involution \(\varepsilon\) gestattet eine äquivariante Abbildung nach \((V_{n,m},\varepsilon_{r,s})\) genau dann, wenn die quadratische Form \(r\perp s\) über dem Ring \(A_ X\) ein orthogonaler Summand von \(n\) ist. Dieses Ergebnis liefert u.a. Algebren \(B_ r\), \((r\geq 2)\), über denen die quadratische Form \(2^ r\) zwar isotrop, aber nicht hyperbolisch ist (was über Körpern bekanntlich nicht möglich ist). Eine vollständige Berechnung der Invarianten \(s\) und \(s'\) für die Räume \((V_{n,m},\varepsilon_{0,m})\) dürfte sehr schwierig sein, da sie eng verwandt ist mit dem Hopf-Problem über die Existenz schief-linearer Abbildungen \(\mathbb R^r\times\mathbb R^q\to \mathbb R^n\), dem Einbettungsproblem für projektive Räume in Euklidische Räume und dem verallgemeinerten Vektorfeldproblem von Atiyah-Bott-Shapiro. Trotzdem darf man erwarten, daß die Methoden dieser Arbeit nicht nur Ergebnisse der Kohomologie- und Homotopietheorie für algebraische Fragen über quadratische Formen nutzbar machen, sondern auch umgekehrt den topologischen Problemen neue Stimulanz geben werden.