Die Index-Formel von \textit{M. F. Atiyah\textit{und \textit{I. M. Singer}}} [Ann. Math., II. Ser. 87, 546-604 (1968; Zbl 0164.243)] für elliptische Differentialoperatoren auf kompakten differenzierbaren Mannigfaltigkeiten wird auf topologische Mannigfaltigkeiten verallgemeinert. In einer vorangehenden Arbeit [Publ. Math., Inst. Hautes Etud. Sci. 58, 251-290 (1983; Zbl 0531.58044)] hatte der Verfasser für jedes Paar (M,\(\xi)\) bestehend aus einer geschlossenen orientierten Lipschitz-Mannigfaltigkeit und einem komplexen Lipschitz-Vektorraumbündel \(\xi\) über \(M\) einen Signatur-Operator definiert. Nach \textit{D. Sullivan} [Geometric topology, Proc. Conf., Athens/Ga. 1977, 543-555 1979; Zbl 0478.57007)] läßt jede topologische Mannigfaltigkeit der Dimension \(\neq 4\) eine Lipschitz-Struktur zu, die bis auf einen Lipschitz-Homöomorphismus nahe bei der Identität eindeutig bestimmt ist. Der Verf. und \textit{D. Sullivan} [Publ. Math., Inst. Hautes Etud. Sci. 58, 291-293 (1983; Zbl 0531.58045)] konnten zeigen, daß der Index des Signatur-Operators auf einer Lipschitz-Mannigfaltigkeit eine topologische Invariante ist. In der vorliegenden Arbeit wird nun zunächst die Indexformel für den Signatur-Operator bewiesen. Das geschieht durch den Nachweis, daß der Index des Signatur-Operators eine Invariante des topologischen Kobordismus ist, und daß es genügt, die Indexformel im differenzierbaren Fall zu kennen. Dort wurde sie von Atiyah und Singer bewiesen. Der allgemeine Fall eines abstrakten elliptischen Operators über M wird im Rahmen der von \textit{L. G. Brown, R. G. Douglas\textit{und \textit{P. A. Fillmore}}} [Ann. Math., II. Ser. 105, 265-324 (1977; Zbl 0376.46036)] sowie \textit{G. G. Kasparov} [Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 39, 796-838 (1975; Zbl 0328.58016)] entwickelten Theorie studiert. Danach bilden die Äquivalenzklassen von abstrakten elliptischen Operatoren auf einem kompakten metrischen Raum \(X\) nach einer geeigneten Äquivalenzrelation eine abelsche Gruppe, die in natürlicher Weise isomorph ist zu der \(K\)-Homologiegruppe \(K_ 0(X)\). Die schon angesprochenen Signatur-Operatoren sind Operatoren der Ordnung 1. Sie werden in geeigneter Weise umgeformt, so daß sie Elemente aus \(K_ 0(M)\) repräsentieren, die in \(K_ 0(M)\) eine Untergruppe von endlichem Index bilden. Die Abbildung, die dem Signaturoperator zu dem komplexen Vektorraumbündel \(\xi\) über M das Element \(ch(\xi)\in H^{e\nu}(M,Q)\) zuordnet, läßt sich auf genau eine Weise zu einem Homomorphismus \(Ch:K_ 0(M)\to H^{e\nu}(M,Q)\) fortsetzen. Der topologische Index eines abstrakten elliptischen Operators \(D\) über einer kompakten orientierten topologischen Mannigfaltigkeit \(M\) wird definiert als \(t-\text{ind}(D)=Ch(D)\cup L(M)[M],\) wo \(L(M)\) das Hirzebruchsche \(L\)-Polynom in den rationalen Pontryaginschen Klassen von \(M\) bezeichnet. Der Indexsatz sagt nun aus, daß \(t-\text{ind}(D)=a-\text{ind}(D)\) gilt, wo mit \(a-\text{ind}(D)\) der Fredholm-Index von \(D\) bezeichnet wird. Die Gültigkeit der Indexformel im allgemeinen Fall wird auf ihre Gültigkeit für die Signaturoperatoren zurückgeführt.