Hintergrund dieser Untersuchungen sind z.B. partielle Differentialgleichungssysteme \[ u_ t(t,z)=c(t,z,u(t-h_ 1,z)...)+\sum^{n}_{i=1}B_ i(t,z,u(t-h^ i_ 1,z\quad),...)u_{z_ i}(t-h'\!_ i,z) \] mit Verschiebungen in t. Anfangswerte werden daher nicht nur längs \(t=0\), \(z\in \Omega c{\mathbb{C}}^ n\), sondern in \(G_ 0:=[-r,0]\times \Omega\) (r\(\geq 0)\) vorgegeben; t is reell; G sei ein Kegel über \(\Omega\). Allgemein wird das Problem so formuliert: \(u_ t(t,z)=f(t,z,u(\cdot))\) in G, \(u(t,z)=\phi (t,z)\) in \(G_ 0\); wobei u(\(\cdot)\) ausdrücken soll, daß hier zu jedem t verschiedene Werte von u aus \(G_ 0\cup G\) eingehen können. H sei die Menge der Funktionen \(u\in C^ 0(G,{\mathbb{C}}^ m)\), die holomorph in z sind; \(H_ 0\) die Funktionen \(u\in C^ 0(G\cup G_ 0,{\mathbb{C}}^ m)\), die holomorph in z sind mit \(u=0\) auf \(G_ 0\). \(H^ p\), \(H^ p_ 0\) \((p>0)\) seien Banachräume der Funktionen aus H, \(H_ 0\) mit endlicher Norm \(\| u\|_ p:=\sup_{G}| u(t,z)| d^ p(t,z)\) wobei d(t,z) vom Verf. geeignet gefunden wurde [Am. Math. Mon. 92, 115-126 (1985; Zbl 0576.35002)]. Das Problem ist faktorisiert \(u=IFu\), \(u\in H_ 0\) (nachdem auf homogene Anfangswerte transformiert wurde). Dabei ist \(I:H^{p+1}\to H^ p_ 0\) eine Integration, deren Eigenschaften wesentlich sind, und \(F: M\to H^{p+1}\), \(M\subset H^ p_ 0\) mit \((Fu)(t,z):=f(t,z,u(\cdot))\) sei Lipschitzstetig. Im Fall \(Fu=Lu+b\) mit \(L: H^ p_ 0\to H^{p+1}\) linear und beschränkt ist sofort der Banachsche Fixpunktsatz anwendbar. Beispiele hierzu sind: Matrizenmultiplikation \((Au)(t,z):=A(t,z)u(t,z)\) unter verschiedenen Voraussetzungen; Verschiebungen \((\delta_ hu)(t,z):=u(t-h,z)\) mit \(0