\textit{E. Hopf} [Ber. Verh. Sächs. Akad. Wiss. Leipzig. Math. Nat. Kl. 95, 3-22 (1943; Zbl 0063.03267)] wies für ein \(n\)-dimensionales reelles autonomes System erster Ordnung (*) \(dx/dt=F(x,\epsilon )\), das von reellem \(\epsilon\) abhängt und den kritischen Punkt \(a^{\epsilon }\) hat, Bifurkation einer nichtkonstanten periodischen Lösung vom Punkt \((x,\epsilon )= (a^0,0)\) unter der Voraussetzung nach, dass \(F\) in einer Umgebung von \((a^0,0)\) analytisch ist, die Jakobi-Matrix \(F_x(a^0,0)\) genau zwei rein imaginäre Eigenwerte \(\pm i \omega_0\), \(\omega_0>0\) und keine verschwindenden Eigenwerte besitzt und für den Eigenwert \(\alpha (\epsilon )+i\omega (\epsilon )\) von \(F_x(a^{\epsilon},\epsilon )\), die stetige Fortsetzung von \(+i\omega_0\), gilt \(\alpha '(0)\neq 0\).Für das zwei-dimensionale Problem formulierte \textit{K. O. Friedrichs} [Leotures on advanced ordinary differential equations. (1965; Zbl 0191.38202)] einen Existenzsatz für nur dreimal stetig differenzierbares \(F\). Dem Verfasser gelingt es mit Hilfe der von J. Hale benutzten Alternativmethode, den Existenzsatz für ein \(n\)-dimensionales System bei \(F\in \mathbb{C}^k\) \(k\geq 3\) und den übrigen Bedingungen abzuleiten. Außerdem gestattet diese Methode zusätzliche Existenzprobleme zu diskutieren (z.B. wenn bei \(F_x(a^0,0)\) mehrere Paare konjugiert komplexer rein imaginärer Eigenwerte auftreten), verschiedene Aussagen von Friedrichs zu erweitern, Hopfs Eindeutigkeitssatz geeignet zu modifizieren und eine Stabilitätstheorie aufzustellen. Zur Bestimmung der Bifurkationsrichtung - ein für Anwendungen wichtiges Problem - wird ein algebraisches Kriterium angegeben. Schließlich werden bei verschiedenen Problemen gewisse Invarianzeigenschaften von Stabilität und Bifurkationsrichtung hergeleitet, falls (*) anstatt von \(\epsilon\) von einem Parametervektor abhängt, dessen Komponenten z. T. oder gänzlich durch einen freien Parameter variiert werden können.