В статье рассмотрены варианты численных методов интегрирования быстро осциллирующих функций. Задачи, сводящиеся к интегрированию таких функций, возникают во многих приложениях. В последние годы появились оригинальные методы, позволяющие перейти от интегрирования осциллирующих функций к восстановлению первообразной функции и вычислении искомого интеграла с их помощью. Оказалось, что задача может решаться весьма эффективно, причем, чем сильнее осцилляции, тем более точным получается результат интегрирования. Для отыскания первообразной осуществляется переход к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) без граничных условий на интервале интегрирования. В работе исследованы известные методы, основанные на подходах, предложенных Филоном и Левиным. Предложены варианты построения матриц дифференцирования, приводящие к возможности устойчиво решать получающиеся системы линейных алгебраических уравнений с последующим вычислением интегралов от быстро осциллирующих функций. Преимущества предложенных методов продемонстрированы на ряде численных примеров.

In this article numerical methods of calculating oscillatory integrals are presented. The tasks, which are reduced to integration of such functions, arise in many appendices. In recent years new methods appeared, allowing changing the task from integration of oscillating functions to restoration of primitive function and calculation of required integral with their help. It appeared that the problem could be solved very effectively, and, the stronger are the oscillation, the more accurate is the result. To obtain the antiderivative, a transition to the system of the ordinary differential equations (ODE) without boundary conditions on an integration interval is carried out. In this work the known methods based on the approaches offered by Fillon and Levin are investigated. The work overviews proposed algorithms for creating differentiation matrices, leading to opportunity of steadily solving the linear algebraic equations with the subsequent calculation of oscillatory integrals. Advantages of the offered methods are shown on a number of numerical examples.