Исследуется задача о периодических по времени решениях квазилинейного уравнения вынужденных колебаний двутавровой балки с шарнирно опертыми концами. Нелинейное слагаемое и правая часть уравнения являются периодическими по времени функциями. В работе изучается случай, когда период времени соизмерим с длиной балки. Решение ищется в виде ряда Фурье. Для доказательства сходимости рядов Фурье и их производных исследуются собственные значения дифференциального оператора, соответствующего линейной части уравнения. Получены условия, при которых ядро дифференциального оператора является конечномерным и обратный оператор является вполне непрерывным на дополнении к ядру. Доказана лемма о существовании и регулярности решений соответствующей линейной задачи. Доказательство опирается на свойства сумм рядов Фурье. Доказана теорема о существовании и регулярности периодического решения, если нелинейное слагаемое удовлетворяет условию нерезонансности на бесконечности. Из условия нерезонансности вытекает тот факт, что при больших по модулю значениях аргумента график нелинейного слагаемого не пересекает прямых, угловой коэффициент которых является собственным значением линейной части уравнения. При доказательстве теоремы проводится априорная оценка решений соответствующего операторного уравнения и применяется принцип Лере-Шаудера о неподвижной точке. Получены дополнительные условия, при которых найденное в основной теореме периодическое решение является единственным. The problem of time-periodic solutions of the quasilinear equation of forced oscillations of an I-beam with hinged ends is investigated. The nonlinear summand and the right side of the equation are time periodic functions. The paper studies the case when the time period is commensurate with the length of the beam. The solution is sought in the form of a Fourier series. To prove the convergence of the Fourier series and their derivatives, we study the eigenvalues of the differential operator corresponding to the linear part of the equation. Conditions are obtained under which the kernel of a differential operator is finite-dimensional and the inverse operator is completely continuous on the complement of the kernel. A lemma on the existence and regularity of solutions of the corresponding linear problem is proved. The proof is based on the properties of the sums of the Fourier series. A theorem on the existence and regularity of a periodic solution is proved if the nonlinear term satisfies the non-resonance condition at infinity. The non-resonance condition implies the fact that, for large values of the argument, the graph of the non-linear term does not intersect the straight lines whose slope is an eigenvalue of the linear part of the equation. In the proof of the theorem, an a priori estimate is made of the solutions of the corresponding operator equation and the Leray-Schauder principle of a fixed point is applied. Additional conditions are obtained under which the periodic solution found in the main theorem is unique.