Este trabalho apresenta uma operação iterativa denominada Quadrado Permutado, construída pela composição de potenciação, permutação de dígitos, diferença entre permutações extremas e soma dos algarismos. O operador central da transformação é estudado sob uma perspectiva algébrica, sendo obtidas sua representação linear discreta, uma formulação em termos de diferenças simétricas entre dígitos e propriedades como a divisibilidade universal por nove. Além dos resultados demonstrados, são apresentados experimentos computacionais realizados na base decimal envolvendo mais de um milhão de números, os quais indicam fortemente a existência de um atrator igual a 18 para a operação com expoente dois. Esse comportamento é formulado como conjectura e distinguido explicitamente dos resultados demonstrados. O artigo também discute generalizações para outros expoentes e sequências de expoentes, aponta limitações da investigação e apresenta questões em aberto para pesquisas futuras. O trabalho situa-se no contexto da Matemática Experimental, combinando demonstrações formais com evidências computacionais para investigar a dinâmica de uma transformação sobre números inteiros.