Di seguito è riportata una sintesi sezione per sezione del contenuto dell'opera, così come delineata nell'introduzione: Sezione 1 — Dai Fondamenti della Regressione Polinomiale all’Espressione della Regressione Polinomiale Mobile Si introduce il modello polinomiale per la regressione ai minimi quadrati e si costruisce il sistema di equazioni necessario per stimare i coefficienti del polinomio. Si ottiene così un’espressione esplicita della stima in un punto generico rispetto a una finestra fissa di k dati. Successivamente l’espressione viene adattata al contesto di serie temporali, mantenendo invariata la struttura funzionale. Ne risulta la forma chiusa della regressione polinomiale mobile che costituisce la base per la successiva ottimizzazione ricorsiva. Sezione 2 — Formula Ricorsiva Generale della Regressione Polinomiale Mobile La sezione formalizza la struttura ricorsiva generale della regressione polinomiale mobile, valida per qualunque grado m. La ricorsione combina una componente autoregressiva di ordine m+1 e due componenti convolutive, ciascuna basata su m+1 campioni della finestra: una recente e una remota. La formula chiusa dei coefficienti FIR, per un dato grado polinomiale m, dipende unicamente dall’ampiezza della finestra k e dalla posizione del punto di valutazione h rispetto al suo estremo destro. Sezione 3 — Stabilità Strutturale e Determinazione dei Coefficienti Convolutivi Si introducono le condizioni strutturali e funzionali che permettono di determinare i coefficienti convolutivi della regressione polinomiale mobile. Le condizioni strutturali derivano dall’analisi della funzione di trasferimento in z=1 e impongono la cancellazione completa dei poli tramite zeri di pari molteplicità, garantendo la stabilità del modello. Le condizioni funzionali assicurano invece la corretta riproduzione polinomiale fino al grado m. L’insieme di questi vincoli conduce a un sistema di 2(m+1) equazioni lineari, ottenute valutando le derivate successive della funzione di trasferimento in z=1, da cui si ricavano simbolicamente i coefficienti convolutivi in funzione dei parametri k e h. Sezione 4 — Stima della Derivata Polinomiale Mobile In questa sezione si estende la regressione polinomiale mobile alla stima della derivata discreta di ordine arbitrario del modello locale. Si mostra che la derivata del polinomio stimato è un funzionale lineare dei dati e può quindi essere espressa nella stessa forma generale della regressione polinomiale mobile. La struttura ricorsiva risultante è identica, composta da una parte IIR fissa e da una parte FIR che dipende dal punto di valutazione. L’unica variazione rispetto al caso del valore riguarda i coefficienti convolutivi, determinati imponendo le condizioni di riproduzione della derivata di ordine p. Sezione 5 — Formule Ricorsive nella Forma FIR* per la Stima del Valore e delle Derivate (m = 0, 1, 2, 3) Questa sezione raccoglie le formule ricorsive finali nella forma FIR*, sviluppate per la stima del valore e delle derivate del modello polinomiale per ciascun grado m = 0, 1, 2, 3. Per ciascun grado vengono presentate le espressioni complete della ricorsione e i relativi coefficienti FIR*, validi per tutti gli ordini di derivazione p≤m, in funzione dell’ampiezza k della finestra e della distanza h del punto di stima dall’estremo destro della finestra. Le formule sono fornite nella struttura IIR + FIR*/D, immediatamente convertibile nella forma scalata. Per i coefficienti convolutivi di ordine polinomiale superiore si rimanda al codice Sagemath in APPENDICE A. Sezione 6 — Confronto con il Filtro Savitzky–Golay In questa sezione si definisce l’impostazione sperimentale per la validazione del filtro Recursive Polynomial Moving Regression (RPM) rispetto al riferimento Savitzky–Golay (SG). Mediante l'impiego di un segnale a dente di sega, vengono analizzate le risposte dei due filtri per verificarne l'allineamento tra la formulazione FIR densa e quella IIR ricorsiva. La sezione introduce le metriche di errore assoluto e percentuale normalizzato, con particolare rilievo alla definizione dell'esponente di crescita α, un parametro sintetico progettato per quantificare la deriva numerica causata dalla cancellazione imperfetta dei poli. I risultati del test saranno presentati e discussi nella sezione successiva. Sezione 7 — Risultati della Simulazione In questa sezione presentiamo i risultati del confronto numerico tra il filtro RPM e il riferimento Savitzky–Golay (SG) per il modello polinomiale di grado m = 2, considerando le tre configurazioni operative del punto di valutazione: centrata sulla finestra, coincidente con l’istante attuale e proiettata nel futuro. Per ciascun caso vengono riportate la risposta sull’ultima finestra e l’andamento dell’errore percentuale normalizzato sull’intero orizzonte temporale, insieme alla stima dell’esponente di crescita α. Il codice completo utilizzato per generare le simulazioni, in forma di notebook SageMath/Jupyter, è riportato in APPENDICE B, con supporto per ampiezza della finestra k, punto di valutazione generico h, ordini di derivata p = 0, 1, 2 e precisione numerica configurabile tramite RealField(PREC).

Il presente documento sviluppata la costruzione dei coefficienti convolutivi della regressione polinomiale mobile per qualsiasi grado m, ampiezza di finestra k e punto di valutazione, con relativa garanzia di stabilità teorica estesa uniformemente alla stima delle derivate di ordine arbitrario p≤m. I contenuti sono matematicamente autocontenuti e verificati. Le verifiche numeriche comparative con il filtro di Savitzky-Golay sono incluse nella versione attuale nella sezione 7. I fondamenti del documento sono stabiliti nei working paper qui citati: 1. Di Michele, Pierpaolo. Optimal Recursive Algorithm for Moving Linear Regression, 2025. https://doi.org/10.5281/zenodo.17053349 2. Di Michele, Pierpaolo. Power Sums and Recursion - An Autonomous Construction in the Discrete Domain, 2025. https://doi.org/10.5281/zenodo.18381278 3. Di Michele, Pierpaolo. Derivation and General Form of an Optimal Recursive Algorithm for Moving Polynomial Regression, 2026. https://doi.org/10.5281/zenodo.18518657

Si presenta una formulazione ricorsiva della regressione polinomiale mobile, valida per qualunque grado m, con aggiornamento a complessità costante O(1) per campione. Per ogni grado m fissato, la stessa formula consente piena modulabilità dell'ampiezza di finestra k e del punto di valutazione. Nel confronto con i filtri polinomiali FIR come Savitzky–Golay, la ricorsione proposta mantiene un numero fisso ed estremamente ridotto di operazioni, indipendente da k e dal punto di valutazione, realizzando la stima ai minimi quadrati su finestre mobili con deriva numerica limitata. La struttura è composta da una parte autoregressiva di ordine m+1 e da una parte convolutiva di ordine 2(m+1). La stessa architettura si estende alla stima delle derivate del modello locale, mantenendo invariata la struttura IIR+FIR. Ne risulta una famiglia di filtri per il valore e per derivate di ordine arbitrario, con coefficienti deterministici precomputabili e piena flessibilità operativa.

Nota editoriale (correzione pp. 26–27): Il paragrafo relativo alla forma FIR* è stato aggiornato per correggere la descrizione della cancellazione del polo in z=1. La formulazione presente nel PDF: “La forma FIR* elimina tutte le divisioni interne e garantisce esattamente la condizione ∑Cˉj(I)=0 Questa condizione assicura la cancellazione del primo polo in z=1, impedendo la divergenza di ordine m+1 della forma FIR non scalata…” deve essere sostituita con la seguente versione corretta: “La forma FIR* elimina le divisioni interne e garantisce anch’essa la condizione ∑Cˉj(I)=0 In aritmetica floating‑point l’ordine di divergenza per segnali generici rimane confinato a m+1, ma eliminando le divisioni indipendenti si ha il vantaggio principale di un posizionamento più stabile degli zeri in z=1, con deriva più uniforme e prevedibile al variare dei parametri k e h, proprietà essenziale in contesti in cui questi parametri vengono modulati dinamicamente." ”

Nota editoriale (aggiornamento Abstract e Sezione 6): Nell’Abstract la frase: “su finestre mobili con deriva numerica limitata” va sostituita con la seguente formulazione corretta: “su finestre mobili con deriva numerica asintoticamente prevedibile e controllabile”. Il titolo della Sezione 6 viene modificato da: “Confronto Numerico con il Filtro Savitzky‑Golay” a: “Confronto con il Filtro Savitzky‑Golay”.

Attribution Note The included Python/SageMath code is the algorithmic implementation of the theory presented in this work. Any use, including the extraction of analytical formulas for the coefficients, is subject to the mandatory citation of the original source (DOI) and compliance with the CC BY-NC-ND 4.0 license, in order to protect the intellectual authorship of the research.