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I. Estructura 2-ádica de las colas y conjuntos de supervivencia en la dinámica de Collatz

Authors: Miguel Cerdá Bennassar;

I. Estructura 2-ádica de las colas y conjuntos de supervivencia en la dinámica de Collatz

Abstract

Este trabajo es el primero de la serie Estructura 2-ádica y obstrucción aritmética en la dinámica de Collatz y estudia la estructura 2-ádica de la dinámica comprimida de Collatz desde una perspectiva puramente aritmética. Se demuestra que cada nivel de cola corresponde a una única clase modular y que la dinámica actúa de forma afín dentro de cada una de ellas. A partir de esta clasificación se descarta la existencia de ciclos no triviales en las clases con valuación al menos dos y se introducen los conjuntos de supervivencia restringidos, que parametrizan exactamente las condiciones necesarias para evitar el descenso durante un número arbitrario de pasos. Se justifica la necesidad de la restricción definitoria y se demuestra, sin hipótesis adicionales, una cota superior determinista para la medida de dichos conjuntos. Se establece además la equivalencia entre la vaciedad del conjunto de supervivencia infinito y la conjetura de Collatz en la clase correspondiente. El análisis no utiliza modelos probabilísticos y delimita con precisión el único obstáculo estructural restante: la posible existencia de dependencias aritméticas globales en la iteración con escala variable. Nota para la versión 1.1: En esta versión se ha ampliado la sección 5.1 Nota para la versión 1.2, segunda versión revisada: Se presenta una reformulación más rigurosa de la prueba de ausencia de ciclos no triviales en la clase correspondiente y se mantiene el análisis estructural de los conjuntos de supervivencia restringidos. Este escrito forma parte de una serie de seis trabajos sobre la conjetura de Collatz. En orden de lectura: I. Estructura 2-ádica de las colas y conjuntos de supervivencia en la dinámica de Collatz — https://doi.org/10.5281/zenodo.18720146 II. Colisión de cilindros, no reutilización de bits y no degeneración efectiva en la dinámica 2-ádica de Collatz — https://doi.org/10.5281/zenodo.18830969 III. Obstrucción aritmética a la supervivencia indefinida en la dinámica 2-ádica de Collatz — https://doi.org/10.5281/zenodo.18830676 IV. Obstrucción aritmética a las órbitas mixtas en la dinámica 2-ádica de Collatz — https://doi.org/10.5281/zenodo.18847884 V. La función φ y la extensión del argumento de presupuesto 2-ádico a k₀ arbitrario en la dinámica de Collatz — https://doi.org/10.5281/zenodo.18850595 VI. Reducción estructural de la conjetura de Collatz: tramos, portales y conjuntos de supervivencia 2-ádicos — https://doi.org/10.5281/zenodo.18848611 VII. Estructura de las entradas a C1 y régimen rígido — https://doi.org/10.5281/zenodo.18845267 VIII. Mapa de retorno, régimen rígido y gap de invariancia en la dinámica 2-ádica de Collatz — https://doi.org/10.5281/zenodo.18866980 IX. Síntesis. Estructura 2-ádica y régimen rígido en la dinámica de Collatz — https://doi.org/10.5281/zenodo.18940626

Keywords

Medida de Haar, Valuación 2-ádica, Dinámica discreta, Dinámica 2-ádica, Dinámica afín, Conjuntos de supervivencia, Clasificación modular, Ciclos no triviales, Conjetura de Collatz, Estructura aritmética

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