Die Abfolge der drei Analogien Platons (Sonne, Linie, Höhle) in der Republik impliziert ein einheitliches System, dessen Struktur jedoch eine ungelöste Aporie bleibt. Diese Arbeit postuliert eine generative numerische „Symmetriematrix“, die als „obere Oktave“ der geteilten Linie fungiert. Sie ist die metaphysische Realität – die vollständige platonische Lehre von Prinzipien und Ideen (Eins > Unbestimmte Dyade > Gattung > Eidos) –, die als einheitliches System analog zur Sonne in der Sonnenanalogie ist. Diese vierteilige Matrix bildet den arithmetischen Kern des Gnomons, eines komplexen Koordinatensystems, das das gesamte antike Quadrivium umfasst. Aus diesem System werden die exakten Proportionen der geteilten Linie (1:2 // 2:4) abgeleitet. Die „untere Oktave“ ist das exakte Analogon: Sie beginnt dort, wo Platons Lehre endet (in der Ideenwelt) und wirft ihren Schatten auf das abgestufte System der Linie (Wissen/Meinung), wobei sie auf die Schatten im nachfolgenden Höhlengleichnis verweist. Die symbolische Bedeutung des Gnomons als Schattenwerfer einer Sonnenuhr (das „Quadrat“ und die „Diagonale“ in Platons Republik 510E) verbindet somit alle drei Analogien. Diese Hypothese löst die Aporien auf, liefert den arithmetischen Kern für den Gnomon und beweist, dass das gesamte antike Quadrivium (Arithmetik, Geometrie, Harmonielehre, Kosmologie) ein einziges, einheitliches System ist, das sich aus den inhärenten Eigenschaften der Matrix ableitet.