В настоящей работе для построения однозначного рекурсивного преобразования~\(\Phi\) применяются рациональные системы счисления~\(\{p \sqcap q\}\). Такой формализм в системах \(\{2 \sqcap 3\}\) и \(\{4 \sqcap 3\}\), в сочетании с введением непрерывной и дискретной метрик длины, позволил получить рекуррентное преобразование, выделить ключевые структуры, выявить закономерности в поведении траекторий и — опираясь на строгие оценки отрицательного дрейфа в дискретной метрике — доказать их глобальную конечность. Результаты оформлены в виде формальных доказательств, таблиц, алгоритмов и графических иллюстраций, что позволяет проследить взаимосвязь между теоретическими выкладками и наглядными представлениями. Приземлённый анализ выполнен на примере числа~27, чья расчётная траектория полностью совпадает с последовательностью OEIS~A008884~\cite{oeis_A008884} и соответствует известному графу Collatz (рис.~\ref{fig:collatz5}). Отдельно подчеркнём, что в процессе был установлен и строго доказан \emph{фундаментальный для теории чисел и смежных областей факт} полной представимости натуральных чисел в системе~\(\{2 \sqcap 3\}\), что имеет самостоятельную ценность.