Las siguientes son las notas de un mini curso que dí durante laescuela de verano CIMPA en Villa de Leyva, Colombia, en julio de 2014. Eltema fue el trabajo que en conjunto se desarrolló con Damien Gayet sobrela topología de las hipersuperficies reales aleatorias, restringiéndonos al casode los espacios proyectivos y enfocándonos en nuestras estimaciones inferiores.Particularmente, estimamos (por arriba y) por abajo la esperanza matemáticade todos los números de Betti de las hipersuperficies reales proyectivas aleato-rias de grado d. De hecho, para cualquier hipersuperficie cerrada y conexa ∑de Rn, estimamos por abajo la esperanza del número de componentes conexasde éstas hipersuperficies reales proyectivas aleatorias de grado d, las cualesson difeomorfas a ∑.

These are notes of the mini-course I gave during the CIMPA sum-mer school at Villa de Leyva, Colombia, in July 2014. The subject was myjoint work with Damien Gayet on the topology of random real hypersurfaces,restricting myself to the case of projective spaces and focusing on our lowerestimates. Namely, we estimate from (above and) below the mathematicalexpectation of all Betti numbers of degree d random real projective hypersur-faces. For any closed connected hypersurface ∑ of Rn, we actually estimatefrom below the mathematical expectation of the number of connected com-ponents of these degree d random real projective hypersurfaces which aredieomorphic to ∑.