Se prueba que, si se asume como consistente el proceso diagonal de Cantor, es tambi��n l��gicamente consistente y necesario deducir que entre los n��meros trascendentes existen diferentes cardinalidades transfinitas en la cantidad de los d��gitos que los componen en su expansi��n despu��s del punto decimal: Alg��n trascendente puede estar formado por una cantidad Alef0 de cifras despu��s del punto, mientras que otro por Alef1 o Alef2 o Alef100, o Alef�� d��gitos. Entonces, procedemos a construir matem��ticamente tales cardinalidades. Ello obliga a deducir tambi��n la existencia, dentro de la clase R de los n��meros reales, de infinitos subconjuntos R�� de tales n��meros, con Alef�� cardinalidades diferentes uno de otro, que procedemos a construir; y a partir de ello se encuentra la inadmisibilidad l��gica de identificar, como inadvertidamente en la teor��a actual, a R mismo con el que en realidad es un subconjunto R1 estrictamente propio de R. Obteniendo para R un nuevo teorema, an��logo al Teorema de Cantor sobre los conjuntos potencia. Excepto que este nuevo teorema nos lleva a redimensionar las cardinalidades actualmente aceptadas de los conjuntos potencia P��. Estableciendo que ninguno de ellos alcanza la cantidad de elementos de R. Y para toda �� la cardinalidad de cada P�� es igual a la cardinalidad de cada R��; es decir, en ambos casos, a Alef��. As��, el conjunto de los n��meros reales R tiene una riqueza infinitamente mayor de la que se ha conceptualizado hasta ahora en la Teor��a de Conjuntos y el An��lisis Matem��tico. Tambi��n es demostrado que, suponiendo que el m��todo diagonal de Cantor sea consistente, es necesario reformular la Hip��tesis del Continuo.