En aquest treball s’estudien els models de compartimentació discrets emprats en l’estudi estocàstic epidemiològic. L’eix vertebrador de l’estudi és el model SIR i les extensions posteriors derivades d’aquest seguint una cadena de Màrkov. Per aquest motiu, primer es presenten conceptes fonamentals de la teoria de processos estocàstics i les principals eines d’anàlisi associades. Concretament, la integral d’Itô i les equacions diferencials estocàstiques. Segonament, s’aprofundeix en la teoria indeterminista de la propagació de malalties. S’obtenen aproximacions de difusió que descriuen alguns dels models associats al SIR. També es calcula el valor de $R_{0}$ . Finalment, es modela un brot de Covid-19 en una residència utilitzant el model SEIHR que constitueix una ampliació del model SIR inicial.

This work examines discrete compartmental models used in stochastic epidemiological studies. The central focus of the study is the SIR model and the subsequent extensions derived from it in a markovian chain. In this context, fundamental concepts of the theory of stochastic processes and the main associated analytical tools are first introduced. Concretely, Itô’s integral and stochastic differential equations. Next, the study explores the nondeterministic theory of disease propagation. Diffusion approximations that describe some of the SIR-associated models are derived. The $R_{0}$ value is also computed. Finally, a Covid-19 outbreak in a nursing home is modeled using the SEIHR model, which constitutes an extension of the original SIR model.

Treballs Finals de Grau de Matemàtiques, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona, Any: 2025, Director: Carles Rovira Escofet