Abstract ASPECTS OF FIBONACCI NUMBERS Gülnihal Yücel Master of Science in Mathematics Supervisor: Asst. Prof. Yalçın Yıldırım January 11, 1994 This thesis consists of two parts. The first part, which is Chapter 2, is a survey on some aspects of Fibonacci numbers. In this part, we tried to gather some interesting properties of these numbers and some topics related to the Fibonacci sequence from various references, so that the reader may get an overview of the subject. After giving the basic concepts about the Fibonacci numbers, their arithmetical properties are studied. These include divisibility and periodicity properties, the Zeckendorf Theorem, Fibonacci trees and their relations to the representations of integers, polynomials used for deriving new identities for Fibonacci numbers and Fibonacci groups. Also in Chapter 2, natural phenomena related to the golden section, such as certain plants having Fibonacci numbers for the number of petals, or the relations of generations of bees with the Fibonacci numbers are recounted. In the second part of the thesis, Chapter 3, we focused on a Fibonacci based random number sequence. We analyzed and criticized the generator sj, = k(j>-[k(j)) by applying some standart tests for randomness on it. Chapter 5, the Appendix consists of Fortran programs used for executing the tests of Chapter 3.Keywords; Fibonacci numbers, Golden section, golden rectangle, Binet form, Fibonacci representation, Zeckendorf theorem, Fibonacci tree, tree codes, Pell polynomials. Pell Lucas polynomials, Pell diagonal Junctions, Fibonacci Polynomials, Lucas Polynomials, Fibonacci groups, random number, independent, uniform. ii

Özet FIBONACCI SAYILARININ ÖZELLİKLERİ Gülnihal Yücel Matematik Yüksek Lisans Tez Yöneticisi: Asst. Prof. Yalçın Yıldırım 11 Ocak 1994 Bu tez iki kısımdan oluşmaktadır. Bunların ilki olan Bölüm 2, Fibonacci sayılarının özellikleri ve uygulamaları üzerine bir derlemedir. Bu bölümde, Fibonacci sayılarının ilginç özellikleri ve Fibonacci dizisi ile ilgili bazı konuları Çeşitli kaynaklardan toparlayıp bir araya getirerek okuyucuya konu üzerinde genel bilgi vermeye çalışılmıştır. Konuyla ilgili temel kavramları verdikten sonra Fibonacci sayılarının aritmetik özellikleri üzerinde durulmuştur. Bunlar arasında bölünebilme ve periyodiklik özellikleri, Zeckendorf teoremi, Fibonacci ağaçlan ve tamsayıların temsil edilmeleriyle ilişkileri, Fibonacci sayılarıyla ilgili yeni bağıntılar türetilmesinde kullanılan polinomlar ve Fibonacci gruplarını sayabiliriz. Ayrıca bölümün sonunda bazı bitki yapraklarının sayıları ya da arı soyları gibi altın kesimle ilgili doğal olaylardan bahsedilmektedir. ikinci kısımda, Bölüm 3'de, Fibonacci kökenli bir rasgele sayı dizisi üzerinde durulmuştur^ s^ = k(f> - [k<f>] rasgele sayı dizisi bazı testler uygulanarak analiz edilmiş ve eleştirilmiştir. Bölüm 5, yani Appendix'de Bölüm 3'deki testleri uygulamak için kullanılan Fortran programları bulunmaktadır. manahtar Fibonacci sayılan, altın kesim, altın dikdörtgen, Binet formu, soscükîer; Fibonacci gösterimi, Zeckendorf teoremi, Fibonacci ağacı, ağaç kodları, Pell poîinomları, Pell Lucas poîinomîan, Peîî diyag onal fonksiyonu, Fibonacci poîinomîan, Lucas poiinomlan, Fibonacci grupları, rasgele sayı, bağımsız, uniform. iv

76