In quest’articolo si riportano alcuni fatti che illustrano il ruolo della geometria come generatrice sia di conservatorismo sia di rinnovamento nel mondo della scuola. Riflettere sull’insegnamento della geometria è un’occasione per riflettere sui grandi temi dell’insegnamento della matematica: intuizione, rigore, approccio utilitaristico, approccio teorico, relazioni tra le varie parti della matematica, legami della matematica con le scienze e la società. Si conclude con la breve presentazione di due attività che possono essere sviluppate in classe (scuola secondaria superiore): il confronto delle risoluzioni di un problema fatte alla maniera di Euclide e di Descartes e una situazione di esplorazione di un problema con il calcolatore.