En este Trabajo de Fin de Grado se estudiarán las esferas de homología, espacios cuyos grupos de homología entera coinciden con los de una n-esfera pero en general no son homeomorfos a ella. Tras la introducción de algunos conceptos básicos requeridos de Teoría de Homotopía, estudiaremos con detenimiento la esfera o dodecaedro de Poincaré, el primer ejemplo histórico de esfera de homología, y otros ejemplos de importancia como las variedades de Brieskorn o las esferas de Seifert. Además, describiremos con cierto detalle la cirugía de Dehn, una técnica de enorme importancia en Topología Geométrica que en particular posibilita la construcción de cualquier 3- esfera de homología que tenga estructura de variedad cerrada.

In this Final Undergraduate Project we will deal with Homology Spheres, spaces with the same integer homology groups of the n-sphere but not homeomorphic to it in general. After introducing some required notions of Homotopy Theory, we will study in great detail the Poincaré sphere (also called Poincaré dodecahedron), the first historic example of an homology sphere. Later, other examples will be described, as Brieskorn manifolds or Seifert spheres. We will also discuss Dehn Surgery, a technique of great importance in Geometric Topology, that in particular is useful to construct any homology 3-sphere which possess a structure of closed manifold.

Universidad de Sevilla. Grado en Matemáticas