Las transformaciones lineales ocupan un lugar preponderante dentro del álgebra lineal. La mayor parte de las aplicaciones en ecuaciones diferenciales y otras áreas de la matemática están relacionadas con el manejo adecuado de ellas. Una transformación lineal de dimensión finita está en correspondencia con un conjunto de matrices que la representan. Si se fija una base del espacio vectorial correspondiente, la transformación quedará en correspondencia con una única matriz. Así que dada una transformación lineal T, es importante saber en qué base del espacio vectorial correspondiente, esta transformación tiene la representación más sencilla posible. No todas las transformaciones lineales de dimensión finita son diagonalizables, pero a todas se les puede encontrar una representación ideal, por ejemplo como suma de espacios invariantes representados por bloques de Jordan.