[ES] Este trabajo trata sobre invariantes analíticos de singularidades aisladas de hipersuperficie e invariantes combinatorios de semigrupos numéricos. La primera parte trata sobre invariantes analíticos y topológicos de una singularidad aislada de hipersuperficie. Nuestras principales contribuciones son las siguientes: primero proporcionamos una fórmula cerrada para el número mínimo de Tjurina en una clase de equisingularidad de una rama plana en términos de invariantes topológicos de la rama, segundo abordamos una pregunta de Dimca y Greuel sobre el cociente del número de Milnor y del número de Tjurina de una singularidad aislada de curva plana; extendemos esta pregunta a singularidades aisladas de superficie en tres variables; lo cual es clave para proporcionar una respuesta completa a la pregunta de Dimca y Greuel. Además, mostramos la conexión de esta extensión con una conjetura planteada por Durfee. Finalmente, establecemos la distribución continua límite de K. Saito para el espectro de singularidades aisladas de hipersuperficie Newton no degeneradas y vinculamos este problema con nuestra generalización de la pregunta de Dimca y Greuel. Como consecuencia, esto proporciona una nueva forma de entender la importancia de la conjetura de Durfee en el contexto de las singularidades aisladas de hipersuperficie. La segunda parte trata sobre semigrupos numéricos y su combinatoria. Primero, abordamos la conjetura de Wilf sobre semigrupos numéricos, que propone un límite inferior de su conductor en términos del género y la dimensión de embebimiento del semigrupo numéricos. En esta dirección, presentamos dos condiciones necesarias para que un semigrupo numéricos tenga número de Eliahou negativo, que es un número cuya positividad implica la conjetura de Wilf. Como consecuencia, mostramos 36 nuevos ejemplos de semigrupos numéricos con número de Eliahou negativo que satisfacen la conjetura de Wilf. Una de nuestras principales contribuciones a la conjetura de Wilf es proponer su extensión a módulos sobre un semigrupo numérico, lo que proporciona una nueva perspectiva en algunos problemas relacionados con la conjetura de Wilf. Proporcionamos una fórmula para el conductor de un semimódulo sobre un semigrupo numérico con dos generadores y como consecuencia demostramos la generalización de la conjetura de Wilf en este caso particular. En segundo lugar, también estudiamos el conjunto de valores de módulos sobre el anillo local de una singularidad aislada de curva plana irreducible con un par de Puiseux que proporciona una generalizaciónparcial de un Teorema de Bresinsky y Teissier sobre el semigrupo de valores de una singularidad aislada de curva plana irreducible. Como consecuencia, deducimos algunas características nuevas sobre el conjunto de valores de diferenciales de Kähler de una singularidad aislada de curva plana irreducible con un par de Puiseux.

[EN] This work is about analytic invariants of isolated hypersurface singularities and combinatorial invariants of numerical semigroups. The first part deals with analytic and topological invariants of an isolated hypersurface singularity. Our main contributions are the following: first we provide a closed formula for the minimal Tjurina number in an equisingularity class of a plane branch in terms of topological invariants of the branch, secondly we address a question of Dimca and Greuel about the quotient of the Milnor and Tjurina numbers of an isolated plane curve singularity; we extend this question to isolated surface singularities in C 3 which gives the clue to provide a complete answer to Dimca and Greuel’s question. Moreover, we show the connection of the extended question with an old standing conjecture posed by Durfee. Finally, we establish K. Saito’s continuous limit distribution for the spectrum of Newton non-degenerate isolated hypersurface singularities and link this problem with our generalization of Dimca and Greuel’s question. As a consequence, this provides a new way of understanding the important role of Durfee’s conjecture in the context of isolated hypersurface singularities. The second part deals with numerical semigroups and their combinatorics. First, we address Wilf’s conjecture on numerical semigroups, which asks for a lower bound of its conductor in terms of the genus and the embedding dimension of the numerical semigroup. In this direction, we present two necessary conditions for a numerical semigroup to have negative Eliahou number, which is a number whose positivity implies Wilf’s conjecture. As a consequence, we show 36 new examples of numerical semigroups with negative Eliahou number satisfying Wilf’s conjecture. One of our main contributions to Wilf’s conjecture is to propose its extension to modules over a numerical semigroup, which provides a new insight in some related problems to Wilf’s conjecture. We provide a formula for the conductor of a semimodule over a numerical semigroup with two generators and as a consequence we prove the generalization of Wilf’s conjecture in this particular case. Secondly, we also study the value set of modules over the local ring of an irreducible plane curve singularity with one Puiseux pair providing a partial generalization of a Theorem of Bresinsky and Teissier about the value semigroup of an irreducible plane curve singularity. As a consequence, we deduce some new features about the value set of K¨ahler differentials of an irreducible plane curve singularity with one Puiseux pair.

Tesis doctoral presentada para lograr el título de Doctor por la Universidad Complutense de Madrid, Facultad de Ciencias Matemáticas, Doctorado en Investigación Matemática