Die Lösung eines jeden ingenieurtechnischen Problems beginnt mit einem Modellierungsprozess, der ein Modell bereitstellt, das ein zu betrachtendes System darstellt. Die entscheidende Frage für die praktische Verwendung von Modellen besteht darin, zu beurteilen, ob das Modell und die Ergebnisse seiner Verwendung vertrauenswürdig sind. Um diese Frage zu beantworten, wurden in der Vergangenheit verschiedene Ansätze vorgeschlagen. Einige dieser Ansätze behandeln jedoch praktische Aspekte von Modellen, oder mit anderen Worten, sie befassen sich mit der Korrektheit der Modellimplementierung, während andere Ansätze die Modelle aus der Sicht des Systemingenieurwesens betrachten, was es schwierig macht, sie auf andere Anwendungsgebiete zu übertragen. Darüber hinaus könnten wir, wenn wir den Modellierungsprozess allgemeiner betrachten, erkennen, dass (physikbasierte oder mathematische) Modelle geschaffen werden, indem spezifische Annahmen in mathematischen Ausdrücken formalisiert werden. In diesem Zusammenhang kann ein Fehler bei der Festlegung einer bestimmten Modellannahme bedeuten, dass das Modell bereits vor seiner Verwendung in konkreten Anwendungen und Berechnungen falsch ist. Daher ist es notwendig, Werkzeuge und Methoden zu entwickeln, um solche Modellierungsfehler, die mit der Konzeptualisierung des Modells zusammenhängen, so früh wie möglich zu erkennen. Diese Habilitationsschrift zielt darauf ab, das Verständnis mathematischer Modellierung zu unterstützen, indem ein abstrakterer Blickwinkel auf Modelle und die Verknüpfung von Modellen vorgeschlagen wird, nämlich durch die Entwicklung eines modellbasierten Rahmens, der auf Kategorientheorie basiert. In diesem Zusammenhang werden Kategorien mathematischer Modelle eingeführt und ihre Struktur erörtert. Insbesondere ermöglicht uns die Verwendung der Kategorientheorie, klare Beziehungen zwischen mathematischen Modellen einzuführen, die durch die Modelleigenschaft der Komplexität bereitgestellt werden. Zusätzlich wird der Begriff der Modellkonvertierbarkeit eingeführt, der eine Verbindung zwischen verschiedenen Modellformulierungen herstellt, die in praktischen Anwendungen verwendet werden, z. B. Integral- und Differentialformulierungen. Danach werden alle grundlegenden Konzepte auf den Fall von gekoppelten mathematischen Modellen erweitert. Wie erwartet, erfordern gekoppelte Modelle eine technischere Behandlung, da die Struktur der Kategorien gekoppelter mathematischer Modelle komplexer ist. Insbesondere wird gezeigt, dass nicht jede Vergleichbarkeit von gekoppelten Modellen sinnvoll ist. Um die praktische Anwendung des abstrakten Modellierungsrahmens zu unterstützen, präsentiert diese Habilitationsschrift auch eine ingenieurwissenschaftliche Perspektive auf die abstrakte kategoriale Konstruktion und bietet verschiedene Modellierungsbeispiele aus der ingenieurwissenschaftlichen Praxis. Darüber hinaus werden auf der Grundlage des auf Kategorientheorie basierten Modellierungsrahmens in dieser Habilitationsschrift erste Ideen zur automatischen Modellerzeugung und zur Erkennung von konzeptionellen Modellierungsfehlern vorgestellt. Dadurch wird eine Verbindung zur Typentheorie und zur funktionalen Programmierung hergestellt. Schließlich wird am Ende der Habilitationsschrift eine Erweiterung des auf Kategorientheorie basierten Modellierungsrahmens über mathematische Modelle hinaus vorgeschlagen. Diese Erweiterung fasst das mit Hilfe des kategorientheoretischen Ansatzes gewonnene Wissen über Modelle zusammen und betrachtet Modelle aus der abstrakten algebraischen Sichtweise. Dadurch ist eine Betrachtung sehr allgemeiner Modelle möglich. Diese Habilitationsschrift zeigt, dass Kategorientheorie und Werkzeuge der abstrakten Mathematik in der praktischen Anwendung tatsächlich nützlich sind.

Solution of any engineering problem starts with a modelling process, which provides a model representing a system under consideration. The critical question for practical use of models is to assess if the model and results of using it can be trusted. To address this question, several approaches have been proposed in the past. However, some of these approaches deal with the practical aspects of models, or in other words, they address correctness of model implementation, while other approaches look at the models from the system engineering point of view, what makes them difficult to transfer to other fields of applications. Moreover, if we look at the modelling process more generally, then we could realise that (physics-based or mathematical) models are created by formalising specific sets of modelling assumptions in terms of mathematical expressions. In this context, if a mistake has been made and one specific modelling assumption has been violated, then the model can be wrong already before even starting using it in concrete applications and computations. Thus, it is necessary to develop tools and methods for detecting such modelling errors related to the conceptualisation of the model as early as possible. This dissertation aims at supporting the understanding of mathematical modelling by proposing a more abstract point of view on models and coupling of models, namely by developing a category theory-based modelling framework. In this context, categories of mathematical models are introduced, and their structure is discussed. In particular, the use of category theory allowed us to introduce clear relations between mathematical models, which are provided by the model property named complexity. Additionally, the notion of model convertibility is introduced, which establish a connection between different model formulations used in practical applications, e.g. integral and differential. After that, all basic notions are uplifted to the case of coupled mathematical models. As expected, coupled models require a more technical treatment, because the structure of categories of coupled mathematical models is more complicated. In particular, it is shown that not every comparison of coupled models makes sense. To support practical applications of the abstract modelling framework, this dissertation presents also engineering perspective on the abstract categorical construction, as well as provides various modelling examples coming from engineering practice. Additionally, based on the category theory-based modelling framework, first ideas towards automatic model generation and conceptual modelling error detection are proposed in this dissertation. Thus, a connection to type theory and functional programming is established in this way. Finally, an extension of the category theory-based modelling framework beyond mathematical models is proposed at the end of the dissertation. This extension sumvi marises knowledge about models gathered by help of category theory-based approach and addresses models from the abstract algebraic point of view. Hence, consideration of very general models is possible in this case. Therefore, this dissertation indicates that category theory and tools of abstract mathematics are indeed useful in practical applications.