Diese Arbeit ist wie folgt aufgebaut: Das erste Kapitel stellt verallgemeinerte Langevingleichungen als eine Familie von stochastischen Differential-Integralgleichungen vor, die mittels des Zwanzigschen Projektionsformalismus gewonnen werden. Ausgangspunkt ist ein statistisch-mechanisches Modell, das die Wechselwirkung eines makroskopischen Systems mit einem Wärmebad bestehend aus einer großen Zahl unabhängiger harmonischer Oszillatoren beschreibt. Die Kopplung zwischen System und Bad wird als linear in den Variablen des Wärmebades, aber beliebig in den Systemvariablen angenommen. Diese Struktur ermöglicht eine explizite Integration der Bewegungsgleichungen des Bades und damit eine geschlossene Form der Bewegungsgleichungen des Systems. Letztere werden durch die Annahme, dass die Badvariablen zu einem gewissen Anfangszeitpunkt gemäß einer kanonischen Verteilung verteilt sind, zu stochastischen Gleichungen. Im zweiten Kapitel werden die thermodynamischen und Markovschen Limiten verallgemeinerter Langevingleichungen studiert. Dabei werden einige Querverbindungen zwischen verallgemeinerten Langevingleichungen und stochastischen Differentialgleichungen hergestellt, deren nähere Untersuchung eine dankbare Aufgabe darstellt. Die letzten zwei Kapitel sind Teil des Anhangs und beschäftigen sich mit der Entwicklung der Theorie der schwachen Konvergenz in dem Maße, wie sie zum Verständnis der thermodynamischen Limiten im zweiten Kapitel benötigt wird. Bis auf sehr wenige Ausnahmen werden alle Beweise vollständig durchgeführt.

This thesis is organized as follows: In chapter 1 generalized Langevin equations are presented as a class of stochastic differential-integral equations obtained by an application of the Zwanzig projection formalism. The starting point is a statistical mechanical model describing a macroscopic system that interacts with a heat bath consisting of a large number of independent harmonic oscillators. The coupling between system and bath is assumed to be linear in the bath variables, but arbitrary in the system variables. This allows for an explicit integration of the bath equations of motion yielding an effective equation for the system. Stochasticity is introduced by the assumption that at some initial time, the bath variables are drawn at random from a canonical distribution. In chapter 2 thermodynamic- and Markovian limits of generalized Langevin equations are studied. This investigation makes it possible to draw some interesting connections between generalized Langevin equations and stochastic differential equations and points in the direction of future research. The last two chapters constituting the appendix are dedicated to the formal development of convergence theorems for stochastic processes that are necessary to handle the thermodynamic limits discussed in chapter 2. Apart from very few exceptions, all proofs are explicitly carried out.