L'indice de Zagreb augmenté d'un graphique $G$ est défini comme étant $ \mathcal {AZI}\left ({G}\right) =\sum _{uv\in E\left ({G}\right) } \left ({\frac { d\left ({u}\right) d\left ({v}\right) }{d\left ({u}\right) +d\left ({v}\right) -2} }\right) ^{3}$ , où $E\left ({G}\right) $ est l'ensemble des arêtes de $G$ , $d\left ({u}\right) $ et $d\left ({v}\right) $ sont les degrés des sommets $u$ et $v$ de l'arête $uv$ . C'est l'un des indices topologiques les plus précieux utilisés pour prédire les corrélations structure-propriété des composés organiques. Il est bien connu que l'étoile est l'arbre unique ayant le minimum $ \mathcal {AZI}$ parmi les arbres. Cependant, le problème de trouver l'arbre avec le maximum $ \mathcal {AZI}$ est toujours ouvert et semble être un problème très difficile. Une conjecture récente, posée dans le récent article [IEEE Access, vol. 6, pp. 69335–69341, 2018], indique que l'étoile double équilibrée est l'arbre avec $ \mathcal {AZI}$ maximal parmi tous les arbres avec $n$ sommets, pour tous $n\geq 19 $ . Soit $ \Omega \left ({n,p}\right) $ l' ensemble des arbres avec $n$ sommets et $p$ sommets ramifiés. Dans cet article, nous considérons le problème de la valeur maximale de $ \mathcal {AZI}$ sur $ \Omega \left ({n,p}\right) $ . Nous montrons d'abord que sous une certaine condition, le problème se réduit à trouver la valeur maximale de $ \mathcal {AZI}$ sur $ \Omega _{1}\left ({n,p}\right) $ , l'ensemble des arbres dans $ \Omega \left ({n,p}\right) $ sans sommets de degré 2. Ensuite, nous nous appuyons sur ce résultat pour trouver les arbres ayant une valeur maximale de $ \mathcal {AZI}$ sur $ \Omega \left ({n,p}\right) $ , lorsque $p=2 $ et 3. En particulier, nous en déduisons que la conjecture est valable pour tous les arbres ayant au plus 3 sommets ramifiés.

El índice de Zagreb aumentado de un gráfico $G$ se define como $\mathcal {AZI}\left ({G}\right) =\sum _{uv\in E\left ({G}\right) } \left ({\frac { d\left ({u}\right) d\left ({v}\right) }{d\left ({u}\right) +d\left ({v}\right) -2} }\right) ^{3}$, donde $E\left ({G}\right) $ es el conjunto de bordes de $G$, $d\left ({u}\right) $ y $d\left ({v}\right) $ son los grados de los vértices $u$ y $v$ del borde $uv$. Es uno de los índices topológicos más valiosos utilizados para predecir las correlaciones estructura-propiedad de los compuestos orgánicos. Es bien sabido que la estrella es el árbol único que tiene un mínimo de $\mathcal {AZI}$ entre los árboles. Sin embargo, el problema de encontrar el árbol con el máximo $\mathcal {AZI}$ todavía está abierto y parece ser un problema muy difícil. Una conjetura reciente, planteada en el artículo reciente [IEEE Access, vol. 6, pp. 69335–69341, 2018], establece que la estrella doble equilibrada es el árbol con $\mathcal {AZI}$ máximo entre todos los árboles con $n$ vértices, para todos $n\geq 19 $. Sea $\Omega \left ({n,p}\right) $ el conjunto de árboles con $n$ vértices y $p$ vértices de ramificación. En este trabajo consideramos el problema del valor máximo de $\mathcal {AZI}$ sobre $\Omega \left ({n,p}\right) $. Primero mostramos que bajo cierta condición, el problema se reduce a encontrar el valor máximo de $\mathcal {AZI}$ sobre $\Omega _{1}\left ({n,p}\right) $, el conjunto de árboles en $\Omega \left ({n,p}\right) $ sin vértices de grado 2. Luego nos basamos en este resultado para encontrar los árboles con un valor máximo de $\mathcal {AZI}$ sobre $\Omega \left ({n,p}\right) $, cuando $p=2 $ y 3. En particular, deducimos que la conjetura es válida para todos los árboles con un máximo de 3 vértices de ramificación.

The Augmented Zagreb index of a graph $G$ is defined to be $\mathcal {AZI}\left ({G}\right) =\sum _{uv\in E\left ({G}\right) } \left ({\frac { d\left ({u}\right) d\left ({v}\right) }{d\left ({u}\right) +d\left ({v}\right) -2} }\right) ^{3}$ , where $E\left ({G}\right) $ is the edge set of $G$ , $d\left ({u}\right) $ and $d\left ({v}\right) $ are the degrees of the vertices $u$ and $v$ of edge $uv$ . It is one of the most valuable topological indices used to predict the structure-property correlations of organic compounds. It is well known that the star is the unique tree having minimal $\mathcal {AZI}$ among trees. However, the problem of finding the tree with maximal $\mathcal {AZI}$ is still open and seems to be a very difficult problem. A recent conjecture, posed in the recent paper [IEEE Access, vol. 6, pp. 69335–69341, 2018], states that the balanced double star is the tree with maximal $\mathcal {AZI}$ among all trees with $n$ vertices, for all $n\geq 19$ . Let $\Omega \left ({n,p}\right) $ be the set of trees with $n$ vertices and $p$ branching vertices. In this paper we consider the maximal value problem of $\mathcal {AZI}$ over $\Omega \left ({n,p}\right) $ . We first show that under a certain condition, the problem reduces to finding the maximal value of $\mathcal {AZI}$ over $\Omega _{1}\left ({n,p}\right) $ , the set of trees in $\Omega \left ({n,p}\right) $ with no vertices of degree 2. Then we rely on this result to find the trees with maximal value of $\mathcal {AZI}$ over $\Omega \left ({n,p}\right) $ , when $p=2$ and 3. In particular, we deduce that the conjecture holds for all trees with at most 3 branching vertices.

يتم تعريف مؤشر زغرب المعزز للرسم البياني $G $ على أنه $\mathcal {AZI}\left ({G}\right )=\sum _{ uv\in E\left ({G}\right)}\left ({\ frac { d\left ({u}\right) d\left ({v}\right )}{ d\left ({u}\right )+d\left ({v}\right )-2}}\ right )^{ 3 }$، حيث $E\left ({G}\ right )$ هي مجموعة الحافة $ G $ و $ d\left ({u}\right )$ و $ d\left ({v}\right )$ هي درجات الرؤوس $ u $ و $ v $ من الحافة $uv$. وهو واحد من أكثر المؤشرات الطوبولوجية قيمة المستخدمة للتنبؤ بالارتباطات بين بنية وخصائص المركبات العضوية. من المعروف أن النجم هو الشجرة الفريدة التي تحتوي على الحد الأدنى من $\mathcal {AZI }$ بين الأشجار. ومع ذلك، فإن مشكلة العثور على الشجرة ذات الحد الأقصى $\mathcal {AZI }$ لا تزال مفتوحة ويبدو أنها مشكلة صعبة للغاية. ينص تخمين حديث، تم طرحه في الورقة البحثية الحديثة [IEEE Access، المجلد 6، الصفحات 69335-69341، 2018]، على أن النجمة المزدوجة المتوازنة هي الشجرة ذات الحد الأقصى $\mathcal {AZI }$ بين جميع الأشجار ذات $n$ قمم، لجميع $n\geq 19 $. دع $\Omega \left ({n,p}\right )$ تكون مجموعة الأشجار برؤوس $n$ ورؤوس متفرعة $p$. في هذه الورقة، نأخذ في الاعتبار مشكلة القيمة القصوى لـ $\mathcal {AZI }$ أكثر من $\Omega \left ({n,p}\right) $. نظهر أولاً أنه في ظل حالة معينة، تقل المشكلة إلى العثور على القيمة القصوى $\mathcal {AZI }$ أكثر من $\Omega _{ 1}\left ({n,p}\right )$، مجموعة الأشجار في $\Omega \left ({n,p}\right )$ بدون رؤوس من الدرجة 2. ثم نعتمد على هذه النتيجة للعثور على الأشجار ذات القيمة القصوى $\mathcal {AZI }$ أكثر من $\ Omega \left ({n,p}\right) $، عندما $p=2 $ و 3. على وجه الخصوص، نستنتج أن التخمين ينطبق على جميع الأشجار التي تحتوي على 3 رؤوس متفرعة على الأكثر.