Ist \(\omega\) eine unendliche Folge von reellen Zahlen \(x_1, x_2,\dots\) im Einheitsintervall \(0\le x\le 1\), und ist \(0\le \alpha 1\), so sei \(Z(n,\alpha)\) die Anzahl der Zahlen \(x_i\) mit \(1\le i\le n\) im Intervall \(0\le x\le \alpha\), es sei \(D(n,\alpha) = \vert Z(n,a\alpha) - n\alpha\vert\) und schließlich sei \(D(n)\) das Supremum von \(D(n,a)\) über alle \(\alpha\). \(D(n)\) wird gewöhnlich als Diskrepanz bezeichnet; K. F. Roth konnte 1954 zeigen, daß \(\limsup (D(n)/(\log n)^{1/2})\) positiv ist. Jetzt wird bewiesen, daß es unendlich viele Zahlen \(\alpha\) gibt, für die \[ \limsup (D(n,\alpha)/(\log n)^{1/2})\] positiv ist. Dies bestätigt eine Vermutung von Erdős. Es wird gezeigt, daß die Menge der Zahlen \(\alpha\) mit dieser Eigenschaft eine Gewinnmenge des Spieles von Banach-Mazur ist. Weiter ist für fast alle Zahlen \(\alpha\) \[ \limsup (D(n,\alpha)/(\log \log n)^{1/2}) \] positiv. Ein wesentliches Hilfsmittel bei den Beweisen ist eine Verallgemeinerung einer Abschätzung von K. F. Roth für einen gewissen Mittelwert von \(D(n,\alpha)^2\).