Für \(\chi(l)\) ein primitiver Charakter mod \(k\) \((\geq 3)\) werden die Summen \[ S(m)=\sum_{l=1}^{k-1} \chi(l)l^m;\quad g(s,\chi)=\sum_{n=1}^\infty \chi(n)z^n;\quad f(s,\chi)=\sum_{r=0}^{k-1} \chi(r)z^r, \] sowie die Gaußsche Summe \[ G(a,\chi)=\sum_{n=0}^{k-1} \chi(n)\exp\left(\frac{2\pi na}{k}\right)\quad (G(\chi)=G(1,\chi)) \] betrachtet. Durch Entwicklung von \((z^n-1)^{-1}f(z,\chi)\) in Teilbrüche und Anwendung des Mittag-Lefflerschen Satzes wird, nach einigen Umformungen, folgender Satz bewiesen: Für \(| z|0)\). Insbesondere folgt daraus \[ g(e^{-z},\chi)=\pi^{-1}G(\chi)\sum_{l=0}^\infty (-1)^l\left(\frac{kz}{2\pi)}\right)^{2l+1}L(2l+2,\bar\chi),\quad \text{falls}\;\chi(-1)=1, \] \[ g(e^{-z},\chi)=i\pi^{-1}G(\chi)\sum_{l=0}^\infty (-1)^{l+1}\left(\frac{kz}{2\pi)}\right)^{2l}L(2l+1,\bar\chi),\quad \text{falls}\;\chi(-1)=-1. \] Durch Auswertung des Integrals \(\int_0^\infty \exp\left(\frac{-kxti}{2\pi}\right)g(e^{-x},\chi)\,dx\) werden eine Anzahl Formeln bewiesen; insbesondere gelten: \[ \int_0^\infty \sin\left(\frac{kxt}{2\pi}\right)g(e^{-x},\chi)\,dx=\pi G^{-1}(\bar\chi)g(e^{-t},\bar\chi),\quad \text{falls}\;\chi(-1)=1, \] und \[ \int_0^\infty \cos\left(\frac{kxt}{2\pi}\right)g(e^{-x},\chi)\,dx=-i\pi G^{-1}(\bar\chi)g(e^{-t},\bar\chi),\quad \text{falls}\;\chi(-1)=-1. \] In Anlehnung an bekannte Beweise der Funktionalgleichung der Riemannschen Zetafunktion werden letztere Formeln benützt, um die Funktionalgleichung der Funktion \(L(s,\chi)\) zu beweisen.