The article is devoted to the further development of the theory of stability of dynamic systems, namely of quantitative methods of stability assessment. A review and critical analysis of various approaches, which allow to introduce a quantitative measure of stability of dynamic systems to one degree or another, is given. The limitations of the existing methods, which are primarily related to the assessment of the behavior of the transient processes of individual trajectories, as well as the difficulty of obtaining an assessment of the behavior of the ensemble of transient processes when trying to apply the methods of N. D. Moiseyev. are substantiated. A method of quantitative assessment of a dynamic system stability based on the numerical estimates of the behavior of the area of initial deviations from the equilibrium position on the trajectories of the dynamic system is substantiated. Based on the Liouville formula, it is shown that changes in the volume of the area of the initial deviations on the trajectories of the system does not depend on the form of the latter one. This allowed to limit the area of initial deviations in the shape of a hypersphere and to obtain a simple expression for a quantitative measure of the stability of a linear stationary dynamic system, the geometric sense of which is to estimate the rate of change of the volume of the control surface. The article proposes and substantiates the criterion of uniformity of deformation of the area of initial deviations. The essence of the problem is that in the transient process, the values of some components of the phase vector may reach unacceptable deviations from the equilibrium position. A theoretical estimate of deformation non-uniformity for linear systems is obtained, which is taken to be the deviation of the trace of the ellipsoid matrix from the deviations of the trace of the hypersphere matrix of the corresponding volume. A method for a quantitative measure of the stability based on an integral quadratic functional calculated on a set of transient processes of initial deviations in the form of a set of ellipsoids with a normalized volume is proposed and substantiated. Diagonal positive normalized matrices are considered as a set of matrices of the integral quadratic criterion. A simple algorithm for calculation of the multiple integral quadratic criterion is proposed.

Стаття присвячена подальшому розвитку теорії стійкості динамічних систем, а саме кількісним методам оцінки стійкості. Проведено огляд та дано критичний аналіз різних підходів, що дозволяють тією чи іншою мірою запровадити кількісну міру стійкості динамічних систем. Обґрунтовано обмеженість існуючих методів, яка пов’язана насамперед з оцінкою поведінки перехідних процесів окремих траєкторій, а також зі складністю отримання оцінки поведінки ансамблю перехідних процесів при спробі застосування методів Н. Д. Моїсеєва. Обґрунтовано метод кількісної оцінки стійкості динамічної системи на основі чисельних оцінок поведінки області початкових відхилень від положення рівноваги на траєкторіях динамічної системи. Виходячи з формули Ліувілля, показано, що зміна об’єму області початкових відхилень на траєкторіях системи не залежить від форми останньої. Це дозволило обмежитися областю початкових відхилень у формі гіперсфери та отримати простий вираз для кількісної міри стійкості лінійної стаціонарної динамічної системи, геометричний зміст якої полягає в оцінці швидкості зміни об’єму контрольної поверхні. У статті запропоновано та обґрунтовано критерій рівномірності деформації області початкових відхилень. Суть проблеми полягає в тому, що в перехідному процесі значення деяких компонентів фазового вектора можуть досягати неприпустимих відхилень від положення рівноваги. Отримана теоретична оцінка нерівномірності деформації для лінійних систем, за яку прийнято відхилення сліду матриці еліпсоїда відхилень до сліду матриці гіперсфери відповідного об’єму. Запропоновано та обґрунтовано метод кількісної оцінки стійкості на основі інтегрального квадратичного функціоналу, обчисленого на множині перехідних процесів при початкових відхиленнях у формі множини еліпсоїдів з нормованим об’ємом. Як множина матриць інтегрального квадратичного критерію розглядаються діагональні додатні нормовані матриці. Запропоновано простий алгоритм обчислення множинного інтегрального квадратичного критерію.