The article presents an analytical solution to the contact problem for two elastic half-spaces with initial stresses and a prestressed ring stamp, without considering frictional forces. We will assume that the surfaces outside the contact boundary of the ring stamp and the half-spaces remain free from the influence of external forces, and at the contact boundary displacements and stresses are continuous. The problem is solved in the case of equal roots of the defining equation. The study is presented in a general form for the theory of large initial strains and two variants of the theory of small initial strains within the linearized theory of elasticity with an arbitrary structure of the elastic potential. It is assumed that the initial states of the elastic ring stamp and the elastic bases are homogeneous and equal. The research is carried out in the coordinates of the initial deformed state, which are related to the Lagrangian coordinates. In addition, the influence of the ring stamp causes small perturbations of the corresponding values of the basic stress-strain state. It is also assumed that the elastic ring stamp and the elastic half-spaces are made of different isotropic, transversally isotropic or composite materials. In the case of orthotropic bodies, we will assume that the elastically equivalent directions coincide with the direction of the coordinate axes in the deformed state. As a result, the solutions of the given problem are presented in the form of infinite series, the coefficients of which are determined from an infinite quasi-regular system of algebraic equations. Several fundamental results, such as the Hankel transformation, triple integral equations, and other methods of the theory of contact problems of the linearized theory of elasticity, are used to study this problem. In the article also establishes the connection between sinking and the corresponding burden. Therefore, with the help of the obtained solutions, it is possible to study the influence of initial (residual) stresses on the distribution of contact stresses and displacements in two elastic half-spaces and an elastic ring stamp.

В статті представлено аналітичний розв'язок контактної задачі для двох пружних півпросторів з початковими напруженнями та попередньо напруженого кільцевого штампа без врахування сил тертя. Будемо вважати, що поверхні поза межею контакту кільцевого штампа та півпросторів залишаються вільними від впливу зовнішніх сил, а на межі контакту переміщення та напруження — неперервні. Задачу розв'язано у випадку рівних коренів визначального рівняння. Дослідження представлено у загальному вигляді для теорії великих початкових деформацій і двох варіантів теорії малих початкових деформацій у межах лінеаризованої теорії пружності при довільній структурі пружного потенціалу. Припускається, що початкові стани пружного кільцевого штампа та пружних півпросторів однорідні та рівні. Дослідження проводиться в координатах початкового деформованого стану, які пов'язані з лагранжевими координатами. Крім того, вплив кільцевого штампа викликає невеликі збурення відповідних величин основного напружено-деформованого стану. Також передбачається, що пружний кільцевий штамп та пружні півпростори виготовлені з різних ізотропних, трансверсально-ізотропних або композитних матеріалів. Увипадку ортотропних тіл будемо вважати, що пружно-еквівалентні напрямки співпадають із напрямком осей координат у деформованому стані. У результаті, розв'язки поставленої задачі представлені у вигляді нескінченних рядів, коефіцієнти яких визначаються з нескінченної квазірегулярної системи алгебраїчних рівнянь. Для дослідження задачі використовується велика кількість фундаментальних результатів таких як: перетворення Ханкеля, потрійні інтегральні рівняння, та інші методи теорії контактних задач лінеаризованої теорії пружності. У статті також встановлено зв'язок між осіданням та рівнодіючою силою навантаження. Отже, за допомогою отриманих розв'язків можна вивчити вплив початкових (залишкових) напружень на розподіл контактних напружень та переміщень у двох пружних півпросторах та пружному кільцевому штампі.