The first boundary value problem for a one-dimensional nonlinear heat equation is considered, where the heat conductivity coefficient and the power function of heat sources have a power-law dependence on temperature. For a numerical analysis of this problem, it is proposed to use the method of two-sided approximations based on the method of Green’s functions. After replacing the unknown function, the boundary value problem is reduced to the Hammerstein integral equation, which is considered as a nonlinear operator equation in a semi-ordered Banach space. The conditions for the existence of a single positive solution of the problem and the conditions for two-sided convergence of successive approximations to it are obtained. The developed method is programmatically implemented and researched in solving test problems. The results of the computational experiment are illustrated by graphical and tabular information. The conducted experiments confirmed the efficiency and effectiveness of the developed method that allowed recommending its practical use for solving problems of system analysis and mathematical modeling of nonlinear processes.

Рассмотрена первая краевая задача для одномерного нелинейного уравнения теплопроводности, в которой коэффициент теплопроводности и функция мощности тепловых источников являются степенными функциями температуры. Для численного анализа этой задачи предложено использовать метод двусторонних приближений на основе метода функций Грина. После замены искомой функции краевая задача сведена к интегральному уравнению Гаммерштейна, рассматриваемому как нелинейное операторное уравнение в полуупорядоченном банаховом пространстве. Получены условия существования единственного положительного решения задачи условия двусторонней сходимости к нему последовательных приближений. Разработанный метод программно реализован и исследован при решении тестовых задач. Результаты вычислительного эксперимента проиллюстрированы графической и табличной информациями. Проведенные эксперименты подтвердили работоспособность и эффективность разработанного метода, что позволяет рекомендовать его для использования на практике при решении задач системного анализа и математического моделирования нелинейных процессов.

Розглянуто першу крайову задачу для одновимірного нелінійного рівняння теплопровідності, де коефіцієнт теплопровідності та функція потужності теплових джерел степенево залежать від температури. Для числового аналізу цієї задачі запропоновано використати метод двобічних наближень на основі методу функцій Гріна. Після заміни невідомої функції крайова задача зведена до інтегрального рівняння Гаммерштейна, яке розглянуто як нелінійне операторне рівняння у напівупорядкованому банаховому просторі. Отримано умови існування єдиного додатного розв’язку задачі та умови двобічної збіжності до нього послідовних наближень. Розроблений метод програмно реалізовано та досліджено під час розв’язання тестових задач. Результати обчислювального експерименту проілюстровано графічною та табличною інформаціями. Проведені експерименти підтвердили працездатність та ефективність розробленого методу і дозволяють рекомендувати його для використання на практиці для розв’язання задач системного аналізу та математичного моделювання нелінійних процесів.