Работа посвящена исследованию случайной величины Tfk (xo), равной длине отрезка апериодичности произвольной вершины x0 € S = {1, . . . ,n}, n € N, в графе k-кратной итерации равновероятного случайного отображения f : S ^ S. Отрезком апериодичности, начинающимся в вершине xo € S, называется отрезок выходящей из х0 траектории от х0 до её первого самопересечения. Исследовано поведение локальной вероятности Р { Tfk (x0) = z } как функционала от z € S при фиксированных значениях параметров k,n € N. Получена двусторонняя оценка Р {Tf k (x0) = z } для произвольных k € N, x0, z € S , таких, что kz < n. Для случаев простого k и k2z @ n получены эффективно вычислимые для используемых на практике значений n (2256 и более) двусторонние оценки Р { Tfk (x0) = z } , выраженные в элементарных функциях. Для произвольных k € N, x0, z € S выписаны двусторонние оценки для функции распределения FT k (x0) (z) в случаях kz < n/2 и kz ^ л/n.