Diese Arbeit beschäftigt sich mit zwei Regelungsmethoden, nämlich Inversdynamik (ID)-basierter Regelung und differential dynamic programming (DDP) und wie man die partiellen Ableitungen, die für diese benötigt werden, möglichst effizient berechnen kann. Dies sind zum Einen die Ableitung der Vorwärtsdynamik bezüglich der Eingänge für den ID-basierten Regler und zum Anderen die erste und zweite partielle Ableitung des Zustandsraummodells und der Kostenfunktion bezüglich Eingang und Zustand für DDP. Die Fähigkeiten dieser beiden Regelungskonzepte werden anhand einiger Beispiele gezeigt, von Oberflächenbearbeitung mit einem Industrieroboter bis hin zu einem Parcoursflug mit einem Quadrocopter. Hierbei basieren die entwickelten Methoden auf der sogenannten Subsystemformulierung, einer modularen Methode zur Modellierung der Kinematik und Dynamik von Mehrkörpersystemen. Ein anderes wichtiges Werkzeug an dieser Stelle ist das Konzept der Kanonischen Koordinaten, welche eine Beschreibung der Kinematik und Dynamik über Exponentialfunktionen erlauben, was insbesondere für die Ableitungen nach den Zustandsvariablen besonders hilfreich ist. Systeme mit topologischer Ketten- oder Baumstruktur haben dünn besetzte globale Systemmatrizen, was für eine effizientere Auswertung der Kinematik und Dynamik sowie für die Ableitungen ausgenutzt werden kann. Im ersten Teil dieser Arbeit wird auf Basis der Subsystemformulierung die implizite Invertierungsmethode (IIM) vorgestellt, ein rekursiver Algorithmus zur Berechnung der Ableitung der Vorwärtsdynamik nach den Eingängen. Darauf folgt im zweiten Teil eine Herangehensweise zur analytischen Berechnung der partiellen Ableitungen des Zustandsraummodells basierend auf der Subsystemformulierung. Dies geschieht über eine rekursive Form für die Auswertung der partiellen Ableitungen der Bewegungsgleichungen als Zwischenschritt. Dabei ermöglichen die lokalen Eigenschaften der Subsystemvariablen hier eine substantielle Reduktion des Rechenaufwandes, speziell für die Tensoren höherer Stufe, die sich aus den höheren Ableitungen ergeben. Schlussendlich werden die Laufzeiten für die Auswertung der Ableitungen ermittelt und mit den Ergebnissen aus anderen Implementierungen verglichen.

This work centers on two optimal control methods, namely inverse dynamics (ID) control and differential dynamic programming (DDP) and how to efficiently evaluate the derivatives they require. Those are the derivative of the forward dynamics with relation to the inputs for ID control and the first and second partial derivatives of the state space model and cost functions with relation to state und input for DDP. The abilities of these two control frameworks are shown in several examples, from robotic surface treatment with an industrial robot to a parcours flight with a quadrotor UAV. The methods introduced to calculate these derivatives build on the so-called subsystem formulation, a modular framework to derive the kinematics and the equations of motion. Another extremely useful tool is the concept of canonical coordinates, which allow for a description of kinematics and dynamics based on exponential functions, which is especially helpful for the second part of the thesis for the evaluation of derivatives with relation to the system state. Systems with topological tree or chain structure exhibit sparsity patterns in their global system matrices, which can be utilized for more efficient evaluation of both the kinematic and dynamic equations. This property is leveraged in the first main contribution of this work, evaluating the input Jacobian of the forward dynamics. Using the subsystem formulation, an algorithm called the \emph{implicit inversion method} (IIM) is derived, that allows for a recursive calculation of the Jacobian. The second main contribution is a method to analytically calculate the partial derivatives of the state space model based on the subsystem formulation. This leads to a recursive approach to evaluate the partial derivatives of the equations of motion as an intermediate step. The local properties of the subsystem variables help to significantly reduce the computational load here, especially for the higher-order tensors that result from the derivatives. Finally, the runtime of the evaluation of these derivatives is measured and compared to other implementations to determine their actual performance.