Теорема Мысовских о сходимости метода Ньютона решения нелинейного уравнения в банаховом пространстве, использующая в формулировке оценку погрешности начального приближения, требует более сильного ограничения на характерный параметр, чем аналогичнаятеорема Мысовских об упрощенном методе Ньютона. Так как основной метод Ньютона использует больше информации на каждом шаге, чем упрощенный (значения производной на текущих итерациях вместо ее значения в начальном приближении), эти две теоремы образуют парадокс. Было неясно, то ли такова «природа вещей» или первая теорема недостаточно сильна. В скалярном случае оказалось, что ограничение на характерный параметр, обеспечивающее сходимость основного метода, можно ослабить так, что парадокс исчезнет. Показано также, что новое ограничение на характерный параметр не может быть ослаблено. Результаты верны как для оригинальных посылок первой теоремы Мысовских, так и для продвинутой версии, где заменяется максимум второй производной рассматриваемой функции на константу Липшица ее первой производной

Mysovskikh’ theorem about Newton method of solving a nonlinear equation in Banach space using an estimate of initial approximation error demands stronger restriction of some characteristic parameter than in Mysovskikh’ theorem about simplified Newton method. As the latter method usesless information on each step than the basic one, i.e. a value of derivative on the regarded function in initial approach instead of the one in each current approach, two theorems form a paradox. It was not clear if it was a “nature of things” or the first theorem was not enough strong. It appeared in a scalar case that the restriction on the charateristic parameter sufficient for convergence can be weakened so that the paradox disappears. It is also shown that the new restriction cannot be weakened. The results are valid as for original assumption of the theorem and for its developed version where the maximum value of the second derivative of the considered function is replaced by Lipschitz’ constant of the first derivative.