В статье рассматривается начально-краевая задача специального вида для нелинейного уравнения теплопроводности в пространстве R3 в случае степенной зависимости коэффициента теплопроводности от температуры. В англоязычной литературе это уравнение обычно именуется "the porous medium equation". Помимо описания процессов распространения тепла, нелинейное уравнение теплопроводности используется при математическом моделировании фильтрации политропного газа в пористом грунте, движения крови в мелких кровеносных сосудах, процессов распространения выбросов отрицательной плавучести в экологии, процессов роста и миграции биологических популяций и ряда других. В рассматриваемой начально-краевой задаче предполагается, что искомая функция обращается в нуль в начальный момент времени и режим нагрева задан на некоторой замкнутой достаточно гладкой поверхности. При этом выполнен переход в сферическую систему координат. Для указанной задачи в классе аналитических функций доказана теорема существования и единственности решения, имеющего вид тепловой волны, распространяющейся по холодному фону с конечной скоростью (если задано направление движения тепловой волны). Предложена конструктивная процедура построения решения в виде кратного степенного ряда, коэффициенты которого определяются рекуррентно из систем линейных алгебраических уравнений, не обладающих свойством строгого диагонального преобладания, при этом размерность систем неограниченно растёт вместе с увеличением порядка коэффициентов. Поскольку указанная процедура позволяет строить коэффициенты ряда в явном виде, построенное решение может быть использовано для верификации численных расчетов.

The paper deals with the special initial boundary value problem for nonlinear heat equation in R3 in case of power dependence of heat-conduction coefficient on temperature. In English scientific publications this equation is usually called the porous medium equation. Nonlinear heat equation is used for mathematical modeling of filtration of polytropic gas in the porous medium, blood flow in small blood vessels, processes of the propagation of emissions of negative buoyancy in ecology, processes of growth and migration of biological populations and other. The unknown function is equal to zero in initial time and heating mode is given on the closed sufficiently smooth surface in considered problem. The transition to the spherical coordinate system is performed. The theorem of existence and uniqueness of analytic solution of the problem is proved. The solution has type of heat wave which has finite velocity of propagation. The procedure of construction of the solution in form of the power series is proposed. The coefficients of the series are founded from systems of linear algebraic equations. Since the power series coefficients is constructed explicitly, this makes it possible to use the solution for verification of numerical calculations.